In der Physik begegnet uns die Diagonalisierung von Matrizen oder Operatoren in vielen Bereichen. Aber es gibt verschiedene Arten, die beiden wichtigsten sind die Schmidt-Zerlegung und die Eigenwertdiagonalisierung .
Die beiden unterscheiden sich im Allgemeinen: Die Schmidt-Zerlegung funktioniert auch für nichtquadratische Matrizen, während die Eigenwertdiagonalisierung auf quadratische Matrizen beschränkt ist. Selbst für quadratische Matrizen sind sie im Allgemeinen nicht gleich. Andererseits fallen sie in einigen Fällen zusammen (symmetrische quadratische Matrizen, glaube ich. Oder ist es hermitesch?).
Meine Frage ist, wann verwenden wir welches und warum?
Wenn wir uns zum Beispiel mit Hamiltonianern auf endlichdimensionalen Hilbert-Räumen befassen (nicht sicher, ob unendlich auch funktioniert), scheinen wir immer die Eigenwertdiagonalisierung zu verwenden. Mein Verdacht ist, dass dies daran liegt, dass wir die linken und rechten Zustände/Vektoren der Diagonalmatrix gleich brauchen, da sonst die Eigenwerte nicht als Energien des Systems interpretiert werden könnten und die Zustände nicht die stationären wären.
Für Dichtematrizen mehrteiliger Systeme scheinen wir die meiste Zeit die Schmidt-Zerlegung zu verwenden. Meine Vermutung liegt in diesem Fall daran, dass die Schmidt-Werte die Interpretation von Wahrscheinlichkeiten haben (da sie immer positiv sind).
Die Schmidt-Zerlegung ist im Allgemeinen eine Singulärwertzerlegung (SVD) und wird auf Wellenvektoren und nicht auf Dichtematrizen angewendet.
Beim Umgang mit zweigeteilten Wellenvektoren verwenden wir SVD, da es keine Einschränkung gibt, dass die Größe der beiden fraglichen Systeme gleich ist. So kann die Matrix der Wellenvektorkoeffizienten rechteckig sein und SVD kann für rechteckige Matrizen berechnet werden.
Da Hamiltonianer hermitesche Matrizen sind, sind ihre linken und rechten singulären Vektoren gleich. Ein Grund, Eigenwerte gegenüber singulären Werten zu bevorzugen, besteht darin, dass singuläre Werte immer positiv sein müssen, während es für die Energie eines Systems keine solche Einschränkung gibt. Bei hermiteschen Matrizen sind die Singulärwerte die Absolutwerte der Eigenwerte.
Hinweis: Die linken und rechten singulären Vektoren einer Matrix enthalten die Eigenvektoren von Und . Also wenn dann stimmen SVD und Eigenwertdiagonalisierung überein. Die Matrizen, die dies erfüllen, heißen Normalmatrizen.
Edit: Abgesehen davon, dass es normal ist, muss auch positiv semidefinit sein (Alle Eigenwerte sind ) für SVD und Eigenzerlegung übereinstimmen.
Emilio Pisanty
Wolpertinger