Hängt die Dimension des Wellenfunktionsvektors im Hilbert-Raum von der Anzahl der Eigenfunktionen ab, von denen er eine Überlagerung ist?

Ich habe Leute sagen sehen, dass Wellenfunktionen, die als Vektoren in einem Hilbert-Raum dargestellt werden, unendliche Dimensionen haben können (aber nicht müssen). Wenn also ein Zustandsvektor eine Anzahl von X Basiseigenfunktionen erfordert, die linear kombiniert werden, um ihn darzustellen, muss der Zustandsvektor selbst X Komponenten (Dimensionen) haben?

Im Fall des Impulsraums ist die Gesamtwellenfunktion also eine lineare Kombination von ebenen Wellenform-Eigenfunktionen. Wenn es unendliche Eigenfunktionen gibt, ist dies ein unendlich dimensionaler Hilbert-Raum? Oder wenn der Wellenfunktions-Zustandsvektor nur 100 Eigenfunktionen benötigt, um ihn zu beschreiben, existiert dieser Zustandsvektor in einem 100-dimensionalen Hilbert-Raum?

Vielleicht verstehe ich etwas grundlegendes falsch, ich bin noch sehr neu in diesem Zeug. Vielen Dank im Voraus für eventuelle Antworten.

Es ist normalerweise üblich, von der Dimension eines (topologischen) Vektorraums zu sprechen, nicht von der Dimension eines Vektors (Element in diesem Raum).
Ist das nur eine Konvention? Habe ich dann Recht, wenn ich denke, dass, wenn Sie die Wellenfunktion als lineare Kombination von e ^ (ikx) ebenen Welleneigenfunktionen erweitern, die Anzahl der Eigenfunktionen, die zum Konstruieren der Wellenfunktion erforderlich sind, dieselbe ist wie die Dimensionalität des Hilbert-Raums, in dem sie existiert?

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Die Dimensionalität eines Vektorraums v wird dadurch bestimmt, wie viele Vektoren in einer Basis vorhanden sind v . Es ist relativ einfach zu zeigen, dass alle Basissätze eines Vektorraums gleich groß sind.

Es gibt keinen entsprechenden Begriff der Dimensionalität für einen einzelnen (von Null verschiedenen) Vektor v ∈ v . Der naheliegendste Weg, dies zu sehen, besteht darin, einfach eine Basis davon zu wählen v ein Mitglied ist, in diesem Fall die Anzahl der Basisvektoren, die zum "Bauen" erforderlich sind v ist trivialerweise 1.

Mit anderen Worten, die Anzahl von Basisvektoren, die erforderlich ist, um einen Nicht-Null-Vektor zu konstruieren v ∈ v hängt davon ab, mit welchem ​​Basis-Set Sie arbeiten.

Kann die Wellenfunktion also genauso wie Vektoren in R^3 als Spaltenvektor geschrieben werden? Sind die theoretischen Komponenten des Spaltenvektors der Wellenfunktion nur die Liste der Eigenfunktionen multipliziert mit ihren Koeffizienten?
Die Zahlen, die in einem Spaltenvektor gestapelt sind, sind die Koeffizienten der Basisvektoren. Solange Ihr Hilbert-Raum endlichdimensional ist, können Sie seine Vektoren auf die gleiche Weise darstellen. Wenn der Raum unendlich dimensional ist, müsste der Spaltenvektor unendlich lang sein, aber die gleiche Idee gilt.
Entschuldigung, nur um das klarzustellen, die Komponenten der hypothetischen Wellenfunktion in Spaltenvektorform sind nur die Koeffizienten? Wenn dies der Fall ist, wo existieren die Eigenfunktionen?
Jedes Mal, wenn Sie einen Spaltenvektor aufschreiben, wählen Sie (vielleicht implizit) eine Basis, auf der Sie arbeiten möchten. Der Spaltenvektor ( A B ) ist eine Abkürzung für " A mal dem ersten Basisvektor plus B mal dem zweiten Basisvektor."
Hängt die Dimension des Wellenfunktionsvektors im Hilbert-Raum von der Anzahl der Eigenfunktionen ab, von denen er eine Überlagerung ist?
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