Momentaner Eigenzustand und zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Question

Momentaner Eigenzustand und zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Manu

Momentaner Eigenzustand $\psi(t)$ ist definiert als
$\hat H(t)\psi(t)=E(t)\psi(t)\tag{1}$

Aber in den Vorlesungsunterlagen von Quantum Physics III MIT (im Abschnitt über adiabatische Approximation) steht das geschrieben $\psi(t)$ möglicherweise nicht die Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.

Ich kann nicht verstehen, warum das so ist.
Bei $t=0$ , $(1)$ wird $\hat H(0)\psi(0)=E(0)\psi(0)\tag{2}$
Das heisst $\psi(0)$ ist der Eigenzustand von $\hat H(0)$
Wir wissen, dass TDSE rechtzeitig bestellt wird. Wenn wir den Zustand zur Zeit kennen $t=0$ , dann erhalten wir auch zu anderen Zeiten einen Zustandsvektor.
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(t)=\hat H(t)\psi(t),\;\text{At t=0 we have }\psi(0)\tag{3}$
Jetzt ab $(3)$ , $\psi(t)$ entwickelt sich und $\hat H$ ändert sich auch mit der Zeit, da sie explizit von der Zeit abhängt.
Kann also nicht $\psi(t)$ wird sich so entwickeln $(1)$ Und $(3)$ hält gleichzeitig?
Ich kann nicht genau verstehen, warum beides $(1)$ amd $(3)$ wird nicht gleichzeitig halten.

J. Murray

Welches Buch? Können Sie ein direkteres Zitat geben?

Manu

Ja sicher. Ich habe in meinem Beitrag editiert

Manu

Ich glaube, ich habe Schwierigkeiten, den momentanen Eigenzustand zu interpretieren.

Hans Wurst

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Marsch

Du kannst Tippen

ℏ

$\hbar$ wie \hbarin MathJax (LaTeX).

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Momentaner Eigenzustand und zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

Ich glaube, ich habe Schwierigkeiten, den momentanen Eigenzustand zu interpretieren.

J. Murray · Answer 1

Der von Zweibach in diesen Notizen gemachte Punkt gilt sogar für zeitunabhängige Hamiltonianer.

Lassen $\psi:\mathbb R\rightarrow \mathscr H$ sei eine Trajektorie durch den Hilbertraum $\mathscr H$ , Wo $\psi(t)$ wird als der Zustandsvektor des Systems zum Zeitpunkt verstanden $t$ . Die Schrödinger-Gleichung ist

\begin{matrix} (1) & ich ℏ ψ^{'} (T) = H (T) ψ (T) \end{matrix}

$i\hbar \psi'(t) = H(t) \psi(t)\tag{1}$

Nehmen wir das für jeden an $t$ , $\psi(t)$ ist ein Eigenvektor von $H(t)$ mit Eigenwert $E(t)$ . Das ist,

\begin{matrix} (2) & H (T) ψ (T) = E (T) ψ (T) \end{matrix}

$H (t)\psi(t) = E(t)\psi(t)\tag{2}$

Zweibachs Punkt ist, dass es dem nicht folgt $\psi(t)$ ist eine Lösung für $(1)$ . Stecken $(2)$ hinein $(1)$ Erträge

ich ℏ ψ^{'} (T) = E (T) ψ (T) ⟹ ψ^{'} (T) = - \frac{ich E (T)}{ℏ} ψ (T)

$i\hbar \psi'(t) = E(t) \psi(t) \implies \psi'(t) = -\frac{i E(t)}{\hbar} \psi(t)$

Offensichtlich wird diese Gleichung nicht durch willkürliche Trajektorien erfüllt $\psi$ ; auch wenn der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist und $E(t) \equiv E_0$ konstant ist, um z $\psi$ eine Lösung zu sein $(1)$ das müssen wir haben

ψ (T) = e^{- ich E_{0} T / ℏ} ψ (0)

$\psi(t) = e^{-iE_0 t/\hbar} \psi(0)$

Betrachten Sie als explizites Beispiel das Elementarteilchen in einem Längenkästchen $L$ . Der Grundzustands-Eigenvektor für dieses System ist $\psi_0 = \sqrt{2/L} \sin\big(\pi x/L\big)$ mit Eigenwert $E_0 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ . Wenn wir lassen $\psi(t)=\psi_0$ , das sehen wir bei jedem $t$ , $\psi(t)$ ist ein momentaner Eigenvektor des Hamiltonoperators (was bedeutet, dass $H\psi(t) = E_0 \psi(t)$ ); das ist aber auch klar $\psi(t)$ löst die (zeitabhängige) Schrödinger-Gleichung nicht $(1)$ .

Durch Symmetrie · Answer 2

Ich denke, der einfachste Weg, dies zu sehen, ist ein Beispiel. Stellen Sie sich einen Hamiltonoperator vor, der sich plötzlich bei ändert $t=0$

\begin{aligned} H (T) = {\begin{cases} H_{1} & T \leq 0 \\ H_{2} & T > 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} H(t) = \begin{cases} H_1 & t \le 0 \\ H_2 & t > 0 \end{cases} \end{align}$ Nun ändern sich die momentanen Eigenzustände entsprechend sprunghaft bei

t = 0

$t=0$ aus Eigenzuständen von

H_{1}

$H_1$ zu Eigenzuständen von

H_{2}

$H_2$ . Wenn wir uns jedoch die Lösungen der Scrhodinger-Gleichung ansehen, können sie auf diese Weise nicht springen. Sie wissen nicht, was Hamiltonian ist

H_{2}

$H_2$ das System springen wird, oder dass es überhaupt springen wird.

Die momentanen Eigenzustände sind genau das; sie werden vollständig durch den momentanen Hamiltonoperator bestimmt . Das Ergebnis der Integration der Schrödinger-Gleichung wird jedoch durch die gesamte Geschichte bestimmt $H(t)$ für alle Zeiten zurück zu dem Zeitpunkt, zu dem wir unsere Randbedingungen setzen.

Vielen Dank für die Antwort. Ich habe einen weiteren Zweifel. Betrachten Sie einen allgemeinen Fall. Wie bei t=0, $\hat H(0)$ hat einen Satz von Eigenvektoren. Nehmen Sie einen von ihnen sagen $\psi(0)$ . Dies ist der Zustand, in dem sich das System bei t=0 befindet. Jetzt für alle $\epsilon>0$ , $\hat H(\epsilon)$ einen anderen Satz von Eigenzuständen haben. Sagen wir jetzt, wir nehmen $\tilde\psi(\epsilon)$ . Jetzt können wir sagen wie $\epsilon\to 0,\;\tilde\psi(\epsilon)\to\psi(0)$ ? Denn wenn das der Fall ist, dann können wir sehen $\psi$ sich mit der Zeit weiterentwickeln, die auch die Lösung von TDSE sein müssen.
Das Beispiel in meiner Antwort gibt ein explizites Gegenbeispiel. In diesem Fall $\tilde{\psi}$ ist ein Eigenzustand von $H_2$ . Als $\epsilon \rightarrow 0$ es Zeit entwickelt sich trivial unter $H_2$ und so neigt nicht dazu $\psi(0)$ , was ein Eigenzustand von ist $H_1$
Ok ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Also im Grunde die $(1)$ möglicherweise nicht die Evolutionsgleichung des Zustandsvektors, wie Sie in Ihrem Beispiel gezeigt haben. Aber durch adiabatische Näherung können wir die Entwicklung des Staye-Vektors in Form von momentanen Eigenzuständen schreiben. Hab ich recht?
Und auch in Ihrem Beispiel, wenn wir die zeitabhängige Störungstheorie bis zur ersten Ordnung verwenden, können wir eine Überlagerung von Eigenzuständen (von t> 0) erhalten, keinen reinen Zustand wie in (1) angegeben. (1) ist also keine Evolutionsgleichung.
Ich habe nur noch einen letzten Zweifel. In Ihrem Beispiel haben Sie explizit eine Diskontinuität im Hamilton-Operator angenommen. Aber angenommen, der Hamilton-Operator ändert sich kontinuierlich, wie können wir das sicher sein $(1)$ ist keine Evolutionsgleichung.

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