Unterschiede zwischen Wellenfunktion und Menge orthonormaler Wellenfunktionen?

Ich lese ein QM-Buch. Es heißt zunächst für die Wellenfunktion:

„Der Zustand eines physikalischen Systems (oder Teilchens) wird vollständig durch eine damit verbundene Entität spezifiziert, die als Wellenfunktion Ψ bezeichnet wird und im Allgemeinen von den räumlichen Koordinaten des Systems und der Zeit abhängt. Der quadratische Modul dieser Wellenfunktion ist der Wahrscheinlichkeitsdichte zum Auffinden des Systems mit einem bestimmten Satz von Werten für die räumlichen und zeitlichen Koordinaten"

Aber später heißt es:

"Zu jedem gegebenen Zeitpunkt kann die Wellenfunktion Ψ eines Teilchens (oder eines isolierten Systems) als lineare Überlagerung eines vollständigen orthonormalen Satzes von Wellenfunktionen Ψn ausgedrückt werden."

Und

" A N = | C N | 2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass das System im Zustand Ψn gefunden wird"

Was?

Ich bin verwirrt.

Wir können bereits Wahrscheinlichkeiten des Systems aus der Wellenfunktion selbst erhalten. Was ist das für orthonormale Wellenfunktionen?

Fragen Sie, warum wir die Wellenfunktion so ausdrücken wollen, oder haben Sie nie einen Kurs in linearer Algebra besucht?

Antworten (2)

Ersteres und Letzteres sind wirklich gleich: " C N = ψ ( X ) ".

Wenn Sie Positionen messen möchten, dann sind mögliche Ergebniszustände | X ⟩ , also schreibst du

| ψ ⟩ = ∑ X | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ := ∑ X ψ ( X ) | X ⟩ := ∑ X C X | X ⟩
Dies gibt Ihnen die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen an der Position zu finden X , dh im Stand zu messen | X ⟩ Ist | C X | 2 = | ψ ( X ) | 2

Wenn Sie eine andere Art von Messung durchführen, wird die Menge möglicher Ergebnisse durch andere Zustände beschrieben, nennen Sie sie | λ N ⟩ . Dann schreibst du

| ψ ⟩ = ∑ N | λ N ⟩ ⟨ λ N | ψ ⟩ := ∑ N C ~ N | λ N ⟩
Daher die Wahrscheinlichkeit, Ihr System im Zustand zu finden | λ N ⟩ Ist | C ~ N | 2 .

Danke. Aber zuerst heißt es: Eine Wellenfunktion eines Teilchens gibt die Wahrscheinlichkeiten seines Ortes an. Aber später heißt es: Für jede mögliche Position gibt es eine Wellenfunktion. Ist es nicht das, was gesagt wird? Können Sie das bitte klären?
Ich denke, in Ihrem Buch sind sie ungenau in Bezug auf das, was sie Wellenfunktion nennen. Im ersten Teil nennen sie die Koeffizienten ψ ( X , T ) Wellenfunktion, in der zweiten rufen sie an | ψ ( T ) ⟩ Wellenfunktion. Die Beziehung zwischen ihnen ist, wie oben geschrieben, dass die ersteren Koeffizienten der letzteren für eine bestimmte Wahl der Basis sind. Ich würde beim Anrufen bleiben | ψ ⟩ Wellenfunktion.

Ihr Buch ist fast richtig. Erinnern ψ ist die Wellenfunktion, die den Zustand des Systems darstellt und die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist.

Nun, die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung (PDE) und die Lösung hat mehrere interessante Eigenschaften: Sie hat unendlich viele bestimmte Lösungen und wir betrachten nur diejenigen, die physikalisch interessant sind (das ist eine schicke Art zu sagen, dass wir diese Bedingungen annehmen die die Randbedingung erfüllen). Die Lösungen sind auch 'orthogonal' und 'vollständig'.

Damit können wir die Wellenfunktion schreiben ψ als Summe (genauer gesagt als Linearkombination ) dieser orthogonalen Funktionen ψ N (genauer stationäre Zustände).

Der | C N | 2   ' S sind die Koeffizienten ψ N in der zuvor erwähnten linearen Kombination und werden interpretiert als

Wahrscheinlichkeit, dass eine Messung der Energie den Wert ergeben würde E N .

Die meisten Bücher interpretieren es als die „Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im n-ten stationären Zustand zu finden ψ N " aber Griffiths besteht darauf, dass es falsch ist und gibt die obige Erklärung.

Ich schlage vor, Sie lesen Kapitel 2 aus dem Buch von Griffiths. Abschnitt 2.1 und 2.2 werden Ihre Frage klarer beantworten.

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