Die Bedeutung der Phase in der Wellenfunktion

Question

Die Bedeutung der Phase in der Wellenfunktion

Ofek Gillon

Ich habe gerade mit dem QM-Studium begonnen und bin etwas in Schwierigkeiten geraten, etwas zu verstehen:

Nehmen wir an, es gibt eine Wellenfunktion eines Teilchens in einer 1D-Box ( $0\leq x\leq a$ ):

ψ (x, t = 0) = \frac{ich}{\sqrt{5}} Sünde (\frac{2 π}{a} x) + \frac{2}{\sqrt{5}} Sünde (\frac{5 π}{a} x)

$\psi(x,t=0) = \frac{i}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{2\pi}{a}x\right) + \frac{2}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right)$

Wenn wir dann die Energie messen, ist die Wahrscheinlichkeit, die Energie zu bekommen, damit verbunden $\sin(\frac{2\pi}{a}x)$ ist $\left| \frac{i}{\sqrt{5}} \right|^2 = \frac{1}{5}$ und die Wahrscheinlichkeit der Messung der damit verbundenen Energie $\sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right)$ ist $\left| \frac{2}{\sqrt{5}}\right|^2 = \frac{4}{5}$ . Also die Größenordnung von $\frac{i}{\sqrt{5}} , \frac{2}{\sqrt{5}}$ bestimmt die Wahrscheinlichkeit, aber was bedeutet die Phase? Für mich als jemanden, der Energie misst, erhalte ich dasselbe, wenn

ψ (x, t = 0) = \frac{- 1}{\sqrt{5}} Sünde (\frac{2 π}{a} x) + \frac{2}{\sqrt{5}} Sünde (\frac{5 π}{a} x)

$\psi(x,t=0) = \frac{-1}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{2\pi}{a}x\right) + \frac{2}{\sqrt{5}} \sin\left(\frac{5\pi}{a}x\right)$

Warum spielt die Phase eine Rolle? Wenn es darauf ankommt, woher weiß ich, in welche Phase die Wellenfunktion nach der Messung kollabiert ist?

Antworten (3)

Die Bedeutung der Phase in der Wellenfunktion

dbq · Answer 1

Dies ist eine wichtige Frage. Sie haben Recht, dass die Energieerwartungswerte nicht von dieser Phase abhängen. Berücksichtigen Sie jedoch die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte $|\psi|^{2}$ . Wenn wir eine willkürliche Überlagerung von Zuständen haben $\psi = c_{1} \phi_{1} + c_{2} \phi_{2}$ , dann wird dies

$|\psi|^{2} = |c_{1}|^{2}|\phi_{1}^{2} + |c_{2}|^{2} |\phi_{2}|^{2} + (c_{1}^{*} c_{2} \phi_{1}^{*} \phi_{2} + c.c.)$ .

Die ersten beiden Terme hängen nicht von der Phase ab, der letzte Term jedoch schon. ( $c_{1}^{*}c_{2} = |c_{1}||c_{2}|e^{i (\theta_{2} - \theta_{1})}$ ). Daher kann die räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte stark von dieser Phase abhängen. Denken Sie auch daran, dass die Koeffizienten (oder die Wellenfunktionen, je nachdem, welches "Bild" Sie verwenden) einen rotierenden Phasenwinkel haben, wenn $\phi_{1,2}$ sind Energieeigenzustände. Dies verursacht die Phasendifferenz $\theta_{2} - \theta_{1}$ tatsächlich um die Energiedifferenz zu drehen , so dass $|\psi|^{2}$ zeigt eine oszillierende Bewegung bei der Frequenz $\omega = (E_{2} - E_{1})/\hbar$ .

Zusammenfassend enthält die Phaseninformation in einer Wellenfunktion Informationen, einschließlich, aber nicht beschränkt auf die Wahrscheinlichkeitsdichte. Bei einer Energiemessung ist das nicht wichtig, bei anderen Messungen kann es aber durchaus sein.

Eigentlich ist es nicht das, was Rabi-Oszillation genannt wird, es ist nur die Evolution der Überlagerung von Eigenzuständen in der Zeit. Die Rabi-Oszillation tritt auf, wenn das System durch ein externes Feld angetrieben wird.
Vielen Dank. Ich kenne Rabi-Oszillationen typischerweise, um eine allgemeinere Definition zu umfassen, die zum Beispiel ein Teilchen beinhalten würde, das in einem doppelten Quantentopf hin und her schwingt. Interessiert zu hören, was andere sagen könnten.
Trotz der Tatsache, dass diese Oszillation nicht als Rabi-Oszillation bezeichnet wird (der Name ist Bohr-Oszillation), ist dieser Effekt dafür verantwortlich. Ich finde deine Einstellung absolut moralisch ;)
Ich habe die Behauptung entfernt, dass es sich um Rabi-Oszillationen handelt. Die vorherigen Kommentatoren haben Recht - der Begriff wird nur für angetriebene Schwingungen verwendet. @dbq, wenn Sie die Behauptung wiederherstellen möchten, sollten Sie (mehrere) Beispiele für den in der Primärliteratur verwendeten Begriff in dem Sinne vorlegen, wie Sie ihn hier verwendet haben.

Herr Blick · Answer 2

Sie können die Wellenfunktion auch mit einer globalen Phase ändern $\psi(x)\rightarrow e^{i\phi}\psi(x)$ ohne Beeinflussung von Erwartungswerten, da sich der Phasenfaktor bei der Einnahme innerer Produkte aufhebt, so dass diese globale Phase keine Informationen enthält. In der Quantenmechanik sind nur relative Phasen von Bedeutung.

Stan Liou · Answer 3

Für ein Massenteilchen $m$ mit einem einfachen Hamiltonoperator im Ortsraum $\mathcal{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{x})$ , wenn Sie eine allgemeine Wellenfunktion schreiben als

Ψ (t; \vec{x}) = \sqrt{ρ} e^{ich S / ℏ},

$\Psi(t;\vec{x}) = \sqrt{\rho}e^{iS/\hbar}\text{,}$ wo

S

$S$ und

ρ \geq 0

$\rho\geq 0$ real sind, dann die Phaseninformation

S

$S$ entspricht direkt dem Wahrscheinlichkeitsstrom

J = \frac{ρ}{m} \nabla S,

$\mathbf{J} = \frac{\rho}{m}\nabla S\text{,}$ die Kontinuitätsgleichung, für die sich genau der Imaginärteil der Schrödinger-Gleichung herausstellt,

\frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0 .

$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0\text{.}$ Wie aus allgemeineren Überlegungen zu erwarten, ist ein globaler Phasenfaktor irrelevant, da nur sein Gradient erscheint. Als Nebenbemerkung stellt sich heraus, dass die reelle Komponente der Schrödinger-Gleichung die klassische Hamilton-Jacobi-Gleichung ist, korrigiert um einen zusätzlichen Term proportional zu

ℏ^{2}

$\hbar^2$ .

Der Wahrscheinlichkeitsstrom kann auch in komplizierteren Situationen definiert werden, aber es bleibt der Fall, dass die Phaseninformation moralisch gesehen entscheidend dafür ist, wie sich die Wellenfunktion mit der Zeit entwickelt.

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Ofek Gillon

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