Die Natur des BCS-Grundzustands

Question

Die Natur des BCS-Grundzustands

PeterB

Meine Frage betrifft, welche Elektronen in einem Supraleiter im BCS-Grundzustand Cooper-Paare bilden, also alle oder nur ein Teil davon. Ich lese gerade über Supraleitung aus Kap. 10, G. Mahan, Vielteilchenphysik, 3. Aufl.

Mahan schreibt auf Seite 627: „Die Grundidee der BCS-Theorie ist, dass die Elektronen im Metall gebundene Paare bilden. Nicht alle Elektronen tun dies, sondern nur diejenigen innerhalb einer Debye-Energie der Fermi-Oberfläche.“ Gut, so habe ich die BCS-Theorie immer verstanden. Der BCS-Grundzustand ist gegeben durch

| B C S ⟩ = \prod_{k} (u_{k} + v_{k} {\hat{C}}_{k, ↑}^{†} {\hat{C}}_{- k, ↓}^{†}) | v A C ⟩ .

$\begin{equation} |BCS\rangle = \prod_{\bf k} (u_{\bf k}+v_{\bf k}\hat{c}^{\dagger}_{\bf k,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\bf k,\downarrow})|vac\rangle. \end{equation}$ Dies ist nur das Standard-Fermi-Meer, wenn

u_{k} = 0

$u_{\bf k}=0$ Und

v_{k} = 1

$v_{\bf k}=1$ , für

| k | < | k_{F} |

$|{\bf k}|<|{\bf k}_F|$ , Und

u_{k} = 1

$u_{\bf k}=1$ Und

v_{k} = 0

$v_{\bf k}=0$ , für

| k | > | k_{F} |

$|{\bf k}|>|{\bf k}_F|$ . Setzen Sie jetzt die BCS-Wechselwirkung ein. Ich habe unter Cooper-Paaren immer die Elektronen verstanden, für die

u_{k}^{2} = \frac{1}{2} (1 + \frac{ξ_{k}}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}}), v_{k}^{2} = \frac{1}{2} (1 - \frac{ξ_{k}}{\sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}}),

$\begin{equation} u_{\bf k}^2=\frac{1}{2}\left(1 + \frac{\xi_{\bf k}}{\sqrt{\xi_{\bf k}^2+\Delta^2}} \right), \quad v_{\bf k}^2=\frac{1}{2}\left(1 - \frac{\xi_{\bf k}}{\sqrt{\xi_{\bf k}^2+\Delta^2}} \right), \end{equation}$ Wo

ξ_{k} = ℏ^{2} | k |^{2} / 2 m - μ

$\xi_{\bf k}=\hbar^2|{\bf k}|^2/2m-\mu$ . Die Lücke

Δ = Δ_{k} = - \sum_{k^{'}} V_{k k^{'}} u_{k^{'}} v_{k^{'}}

$\Delta=\Delta_{\bf k}=-\sum_{\bf k'}V_{\bf kk'}u_{\bf k'} v_{\bf k'}$ ist nur für Zustände innerhalb der Debye-Energie von Null verschieden

μ = E_{F}

$\mu=E_F$ (bei

T = 0

$T=0$ ), da BCS von einer Interaktion der Form ausgeht

v_{k k^{'}} = {\begin{cases} - v, & für - ℏ ω_{D e B j e} < ξ_{k}, ξ_{k^{'}} < ℏ ω_{D e B j e} \\ 0, & ansonsten \end{cases} .

$\begin{equation} V_{\bf kk'}=\left\{ \begin{array}{ll} -V, & \textrm{for } -\hbar \omega_{\rm Debye} < \xi_{\bf k}, \xi_{\bf k'} < \hbar \omega_{\rm Debye} \\ 0, & \textrm{otherwise} \end{array} \right.. \end{equation}$

Ich verstehe also den supraleitenden BCS-Grundzustand als Beschreibung eines Zustands, in dem Elektronen innerhalb der Debye-Energie von $E_F$ bilden Cooper-Paare, und die restlichen Elektronen bleiben ungepaart, bilden also kein gebundenes Cooper-Paar. Das gesamte System ist jedoch supraleitend, da keine Anregungen erzeugt werden können, es sei denn, ihre Energie liegt über der Lücke. Die ungepaarten Teilchen sind keine Quasiteilchen, da der BCS-Zustand ein Vakuumzustand für den Quasiteilchen-Vernichtungsoperator ist.

Nun bin ich mir nicht sicher, ob mein Verständnis tatsächlich richtig ist, zumal Erregungen des BCS-Zustands paarweise erzeugt oder zerstört werden müssen. Deshalb ist die Erregungslücke $2\Delta$ .

Außerdem schreibt Mahan auf Seite 647: „Bei Nulltemperatur befinden sich alle Elektronen im Supraleiter in den Paarzuständen beim chemischen Potential.“ Aber das widerspricht eindeutig dem, was er oben geschrieben hat. Auch Ashcroft und Mermin, Solid State Physics schreiben, dass im BCS-Grundzustand alle (Leitungs-)Elektronen gepaart sind. Wenn alle Elektronen gepaart sind, wo entsteht die für die Bildung eines Cooper-Paares erforderliche anziehende Wechselwirkung für diejenigen Elektronen, deren Energien nicht darin liegen? $\hbar \omega_{\rm Debye}$ von $E_F$ ? Es wird im BCS-Ansatz mit null angenommen.

tl;dr Bilden alle Elektronen im BCS-Grundzustand Cooper-Paare? Wenn ja, woher kommt die anziehende Wechselwirkung für Elektronen? $|\xi_{\bf k}|>\hbar \omega_{\rm Debye}$ ? Wenn nicht, warum müssen Anregungen paarweise erzeugt oder zerstört werden, wenn es Elektronen ohne Cooper-Paare gibt? Mir ist bewusst, dass der BCS-Zustand ein kohärenter Zustand usw. ist, aber ich hätte gerne ein physikalischeres Bild des Grundzustands.

Chuan Chen

Ich denke, Sie haben absolut Recht, ich persönlich denke, dass dies eine Schwäche der BCS-Theorie ist. (Als ich mit einem berühmten Professor sprach, wurde mir gesagt: "Wenn Sie schummeln, gewinnen Sie den Nobelpreis, wenn Sie genau sein wollen, bekommen Sie nichts ...")

Quillo

Ein Bild des BCS-Grundzustandes kann in Form von "Bogoliubons" gegeben werden. Im Normalzustand bedeutet ein "Bogoliubon", ein Elektron über dem Fermi-Niveau zu erzeugen und ein Loch mit entgegengesetztem Impuls und Spin unter dem Fermi-Niveau zu erzeugen. Im supraleitenden Zustand wird das "Bogoliubon" zu einer Überlagerung sowohl eines Elektronen- als auch eines Lochzustands. Die BCS-Grundzustandswellenfunktion entspricht dem Vakuum von Bogoliubons, siehe portal.ifi.unicamp.br/images/files/graduacao/aulas-on-line/… . Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/705959/226902

Antworten (3)

Die Natur des BCS-Grundzustands

Ich denke, Sie haben absolut Recht, ich persönlich denke, dass dies eine Schwäche der BCS-Theorie ist. (Als ich mit einem berühmten Professor sprach, wurde mir gesagt: "Wenn Sie schummeln, gewinnen Sie den Nobelpreis, wenn Sie genau sein wollen, bekommen Sie nichts ...")
Ein Bild des BCS-Grundzustandes kann in Form von "Bogoliubons" gegeben werden. Im Normalzustand bedeutet ein "Bogoliubon", ein Elektron über dem Fermi-Niveau zu erzeugen und ein Loch mit entgegengesetztem Impuls und Spin unter dem Fermi-Niveau zu erzeugen. Im supraleitenden Zustand wird das "Bogoliubon" zu einer Überlagerung sowohl eines Elektronen- als auch eines Lochzustands. Die BCS-Grundzustandswellenfunktion entspricht dem Vakuum von Bogoliubons, siehe portal.ifi.unicamp.br/images/files/graduacao/aulas-on-line/… . Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/705959/226902

M.Zeng · Answer 1

Erstens bilden bei Nulltemperatur nicht alle Elektronen im BCS-Grundzustand (GS) Cooper-Paare. Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass es tief im Inneren der Fermi-Oberfläche keine verfügbaren Zustände für Streuereignisse gibt, einschließlich der Phonon-vermittelten, und wir daher nicht die effektive Anziehungskraft hätten, um die Cooper-Paare zu bilden.

Dies ist auch aus den Koeffizienten ersichtlich $u_k$ Und $v_k$ in der postulierten BCS GS, die im ursprünglichen Beitrag angegeben ist. Wenn $k$ liegt also weit unter der Fermi-Fläche $|\xi_k|>>\Delta$ , mit $\xi_k<0$ . In diesem Fall, $|u_k|\to 0$ Und $v_k\to 1$ , dh die Zustände weit unterhalb der Fermi-Fläche sind fast vollständig von Elektronen besetzt, die von erzeugt werden $c^{\dagger}_{k\uparrow}c^{\dagger}_{-k\downarrow}$ . Diese Elektronen werden paarweise erzeugt, aber sie sind KEINE Cooper-Paare!!! Der Paarerstellungsoperator sagt uns nichts darüber, ob das Paar ein Cooper oder nur ein normales Paar ist. Nur wenn es nahe an der Fermi-Oberfläche liegt und somit eine Phononen-vermittelte Streuung möglich ist, ist die Erzeugung eines Cooper-Paares möglich.

Zusammengefasst sieht die BCS GS so aus: Tief unten in der Fermi-Fläche sind es nur normale Elektronen. In der Nähe der Fermi-Fläche ist es meistens eine Überlagerung $\left(u_k+v_kc^{\dagger}_{k\uparrow}c^{\dagger}_{-k\downarrow}\right)|0\rangle$ im leeren Zustand, mit Amplitude $u_k$ , und besetzte Cooper-Paare, mit Amplitude $v_k$ .

BEARBEITEN:

Nachdem ich die obige Antwort gesendet hatte, stellte ich fest, dass ich den anderen Teil Ihrer Frage verpasst hatte, in dem es um die Erregungen der BCS GS geht, und hier geht es:

Sie haben erwähnt, dass "die Erregungen des BCS-Zustands paarweise erzeugt oder zerstört werden müssen". Das ist nicht richtig. Die Anregungen des BCS GS unterscheiden sich grundlegend von Cooper-Paaren oder den normalen Elektronen. Stattdessen ist es das Quasi-Teilchen, das von erzeugt wird

γ_{P ↑}^{†} = u_{P}^{*} C_{P ↑}^{†} - v_{P}^{*} C_{- P ↓}

$\gamma^{\dagger}_{p\uparrow}=u^*_pc^{\dagger}_{p\uparrow}-v^*_pc_{-p\downarrow}$ Es überrascht nicht, dass dies nur die Bogolyubov-Transformation ist, die zum Diagonalisieren des BCS-Mittelfeld-Hamilton-Operators verwendet wird, und deshalb ist dies die legitime Erregung des GS. Der zugehörige Eigenwert ist genau

E_{k} = \sqrt{ξ_{k}^{2} + Δ^{2}}

$E_k=\sqrt{\xi_k^2+\Delta^2}$ Hier ist die Lücke

Δ

$\Delta$ von der BCS-Erregung kommt. Diese Art der Anregung ist im Vergleich zu Objekten wie einzelnen Elektronen oder Cooper-Paaren etwas weniger intuitiv. Es hat Spin-1/2, trägt aber keine genau definierte Ladung, während ein Cooper-Paar Spin 0 und Ladung hat

2 e

$2e$ .

Außerdem können Sie das leicht überprüfen

γ_{P ↑} | B C S ⟩ = γ_{- P ↓} | B C S ⟩ = 0

$\gamma_{p\uparrow}|BCS\rangle=\gamma_{-p\downarrow}|BCS\rangle=0$ was durchaus Sinn macht, da der Vernichtungsoperator für die Anregung die GS vernichtet.

Juan Daniel Torres · Answer 2

Beantwortung Ihrer ersten Frage.

Wo entsteht die zur Bildung eines Cooper-Paares erforderliche anziehende Wechselwirkung für jene Elektronen, deren Energien nicht darin liegen? $\hbar\omega_\mathrm{Debye}$ von EF?

Sie fühlen einfach keine attraktive Interaktion. Die anziehende Wechselwirkung kommt von der Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Wenn ihre Energie höher ist als $\omega_\mathrm{Debye}$ Sie spüren eine abstoßende Wechselwirkung, die sie daran hindert, Cooper-Paare zu bilden, und wären daher in einem aufgeregten Zustand.

wcc · Answer 3

Ich verstehe also den supraleitenden BCS-Grundzustand als Beschreibung eines Zustands, in dem Elektronen innerhalb der Debye-Energie von EF Cooper-Paare bilden und der Rest der Elektronen ungepaart bleibt, dh kein gebundenes Cooper-Paar bildet. Das gesamte System ist jedoch supraleitend, da keine Anregungen erzeugt werden können, es sei denn, ihre Energie liegt über der Lücke. Die ungepaarten Teilchen sind keine Quasiteilchen, da der BCS-Zustand ein Vakuumzustand für den Quasiteilchen-Vernichtungsoperator ist.

Ich werde schreiben, was ich aus dem Bose-Einstein-Kondensat gelernt habe. Obwohl es sich um ein ladungsloses Suprafluid handelt, hat das Phänomen der Kondensation eine gewisse Ähnlichkeit mit dem, was im Supraleiter passiert. Für ein Kondensat müssen sich nicht alle Teilchen im „nackten“ Grundzustand (Zustand mit Nettoimpuls Null) befinden. Bei Wechselwirkung erhält das Kondensat eine kleine Beimischung von Bogoliubov-Quasiteilchen. Dies wird als Quantenverarmung bezeichnet und ist am bemerkenswertesten bei superflüssigem Helium (einem paradigmatischen Beispiel für stark wechselwirkendes Superfluid).

Die Natur des BCS-Grundzustands

PeterB

Chuan Chen

Quillo

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M.Zeng

Juan Daniel Torres

wcc

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