Was ist die Verbindung zwischen dem BCS-Grundzustand und der Supraleitung?

Eine Elektronen-Anregungs-Lücke ist für die Supraleitung hilfreich. (Normalerweise streuen Elektronen, aber wenn es eine Lücke gibt, dann streuen sie nicht, weil es keinen Zustand gibt, in den sie streuen können, solange die Temperatur niedrig genug ist, dass sie die Lücke nicht überspringen können. **) Aber es ist nicht ausreichend. Die gefüllten Zustände müssen auch einen Strom führen können! Die Elektronen in einem gefüllten Halbleiter-Valenzband haben, wie Sie sagen, eine Elektronen-Anregungslücke, aber sie führen keinen Strom. (Wenn Sie darüber nachdenken, gibt es in intrinsischem GaAs nahe dem absoluten Nullpunkt keine Elektronenstreuereignisse!) Andererseits KÖNNEN die gefüllten Zustände in einem Supraleiter einen Strom führen, weil ... nun, ich war mir nicht sicher, aber ich habe gelesen das alte BCS-Papier und sie haben eine ziemlich grundlegende Erklärung:

Unsere Theorie berücksichtigt auch auf qualitative Weise jene Aspekte der Supraleitung, die mit unendlicher Leitfähigkeit verbunden sind ... die gepaarten Zustände$(k_{1\uparrow}, k_{2\downarrow})$einen Nettoimpuls haben$k_1+k_2=q$, wo$q$ist für alle virtuellen Paare gleich. Für jeden Wert von$q$, gibt es einen metastabilen Zustand mit einem Minimum an freier Energie und einer einzigartigen Stromdichte. Die Streuung einzelner Elektronen ändert den Wert von nicht$q$gemeinsamen virtuellen Paarzuständen und können daher nur Schwankungen um den durch bestimmten Strom erzeugen$q$." Und diese Streuereignisse erhöhen die freie Energie, es sei denn, alle Elektronen streuen gleichzeitig auf genau die richtige Weise, um einen neuen metastabilen Zustand mit einem anderen q-Zentrum zu erzeugen, was äußerst unwahrscheinlich ist.

Nun, das macht für mich Sinn ... In Ihrer Frage haben Sie den BCS-Grundzustand mit geschrieben$q=0$, aber das ist nur einer aus der Familie der metastabilen ( grundlegenden ) BCS- Zustände mit unterschiedlichen Zuständen$q$, mit unterschiedlichen$q$s entspricht unterschiedlichen Stromflüssen.

Mit anderen Worten, die BCS-Theorie erklärt, wie sich die Elektronen paaren und dann gibt es eine Energielücke für Einzelteilchen-Anregungen. Leicht verändert die$q$erfordert wenig oder keine Energie (oder verringert in einigen Fällen sogar die Energie), geschieht jedoch nicht spontan, da Billionen von Elektronen erforderlich sind, um ihren Zustand gleichzeitig auf koordinierte Weise zu ändern. (Ein elektrisches Feld kann diese Art von koordinierter Änderung verursachen, aber es kann nicht einfach spontan passieren. Im Allgemeinen treten spontan nur Einzelteilchen-Anregungen auf, und diese sind lückenhaft.) Es ist also metastabil. Und die Tatsache, dass Sie einen metastabilen Zustand haben können, der Strom führt, ist nur eine andere Art zu sagen, dass Strom auch ohne elektrisches Feld fließen und fließen kann.

**Update: OK, ja, es gibt so etwas wie "lückenlose Supraleitung". Mein Fehler war, "Supraleiter" mit "Supraleiter ohne jegliche Dissipation" zu verschmelzen. Letzteres existiert nicht – denken Sie daran, dass der Supraleitungsübergang selbst bei einer vollständig geeigneten supraleitenden Energielücke über dem absoluten Nullpunkt liegt, sodass es mit Sicherheit eine kleine, aber von Null verschiedene Elektronenstreurate gibt, die tolerierbar ist, ohne die supraleitende Ordnung zu zerstören . Nach dieser Logik ist es also nicht verwunderlich, dass ein teilweiser oder nicht vorhandener Spalt mit Supraleitung bei einer sehr niedrigen Übergangstemperatur kompatibel ist.

Die BCS-Wellenfunktion, die Sie aufschreiben, hängt von einem Parameter ab$\phi$, aber die Grundzustandsenergie ist davon unabhängig. Dies impliziert das$\phi$ist der (wäre) Goldstone-Modus, der die Niederenergiedynamik des Systems regelt. Der Gradient von$\phi$ist das Konservierte$U(1)$aktuell$\vec\jmath \sim \vec\nabla\phi$, und der gewöhnliche geladene Strom ist$\vec\jmath_s =n_s e \vec\nabla\phi /m$, wo$n_s$ist die superfluide Dichte von Elektronen.

Da$\phi$ist ein Goldstone-Modus, dessen effektive Niedrigenergiewirkung nur von Gradienten abhängen kann$\phi$. Bei Eichinvarianz ist die effektive Wirkung von der Form$S[A_\mu-e\nabla_\mu\phi]$. Die explizite Form von$S$kann aus der BCS-Wellenfunktion berechnet oder einfacher mit Diagrammmethoden bestimmt werden. Für unsere Zwecke ist nur das wichtig$S$hat zumindest ein lokales Minimum, wenn das Feld verschwindet. Das bedeutet, dass Lösungen der klassischen Bewegungsgleichung von der Form sind$A_\mu=e\nabla_\mu \phi$(Dies ist die Londoner Gleichung). Betrachten wir ein angelegtes elektrisches Feld$\vec{E}=-\vec\nabla A_0$. ich finde

$$\vec{E}=-e\vec\nabla \dot\phi=\frac{m}{n_s}\frac{d\vec\jmath}{dt}$$ was zeigt, dass ein statischer Strom einem Nullfeld entspricht und der spezifische Widerstand Null ist.

Die effektive Wirkung bestimmt auch andere Eigenschaften des Systems, wie den Meissner-Effekt, den kritischen Strom und Schwankungen des Stroms in einem thermischen Ensemble.

Nachtrag: Ein Kommentator argumentiert, dass ich das wirklich zeigen muss$S$hat ein Minimum

$$S \sim \gamma (A-e\nabla\phi)^2 + \ldots$$ Beachten Sie das zunächst $\gamma$bestimmt die Meissner-Masse, also habe ich auch ohne Berechnung gezeigt, dass der Meissner-Effekt Supraleitung impliziert. Darüber hinaus muss ich in der Tat eine Berechnung durchführen $\gamma$basierend auf der BCS-Wellenfunktion (ich könnte mich auf das Landau-Ginzburg-Funktional berufen, aber das verlagert die Frage nur auf den Gradiententerm im LG-Funktional). Glücklicherweise ist die Berechnung einfach und in vielen Lehrbüchern zu finden. Für Leute mit mehr Interesse an Teilchenphysik gibt es eine schöne Erklärung in Band II von Weinbergs QFT-Buch. Es gibt Andersons berühmten Aufsatz über Eichinvarianz und den Higgs-Effekt. Eine Version der Berechnung habe ich in Abschn. 3.4 dieser Vorlesungsunterlagen https://arxiv.org/abs/nucl-th/0609075

Post-Postscript: Wie unterscheidet sich das von einem schwach wechselwirkenden Elektronengas? Im Elektronengas habe ich eine niedrige Energiebeschreibung in Bezug auf Elektronen und Phononen (und andere Freiheitsgrade). Betrachten Sie der Einfachheit halber die Hochtemperaturgrenze, wo eine klassische Beschreibung gilt (wie durch die Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie erklärt, verallgemeinert sich dies auf niedrige T). Die Bewegungsgleichung für ein einzelnes Elektron ist gerecht$m\dot v=e E$, die oberflächlich wie die Londoner Gleichung aussieht. Dies ist jedoch kein makroskopischer Strom. Wenn ich von mikroskopischen zu makroskopischen Gleichungen übergehe, gibt es keine Symmetrie, die das Auftreten dissipativer Terme verbietet, also ist die Leitfähigkeit ungleich Null. Es gibt tatsächlich eine Feinheit in der Kopplung von Elektronen und Phononen, denn ohne den Umklapp-Prozess würde die Impulserhaltung die Leitfähigkeit zum Verschwinden bringen.

In einem Supraleiter beschreibt der Gradient des Goldstone-Bosons automatisch einen makroskopischen Strom ($\gamma$ist proportional zur Elektronendichte). S ist eine quantenwirksame Aktion, und dissipative Terme sind automatisch verboten. Bei endlicher Temperatur werden die Dinge etwas komplizierter, da der Gesamtstrom im Allgemeinen die Summe eines nicht dissipativen Suprastroms ist, der von bestimmt wird$S$, und einen dissipativen normalen Strom. Allerdings unten$T_c$Ein Teil der Antwort wird von einem Suprastrom getragen.

Wie Sie zu Recht erwähnen, erklärt das Vorhandensein einer Lücke nichts von der Supraleitungsphänomenologie, außer ihrem DC- (und Quasi-DC-) Verhalten. Das ist ganz natürlich: gleiche Ursachen, gleiche Folgen. Ein Supraleiter verhält sich also wie ein Halbleiter, weil er eine Lücke hat. Da diese Lücke recht klein ist, sind herkömmliche Supraleiter keine wirklich interessanten Halbleiter.

Was sind also die entscheidenden Aspekte der Supraleitung, die in dem von Ihnen geschriebenen BCS-Ansatz verborgen sind? Nun, viele viele, zum Beispiel

• dies ist ein Beispiel für einen kohärenten fermionischen Zustand
• es stammt aus dem mikroskopischen Bild der Cooper-Paarung (wie im ersten Absatz der Antwort von Joshuah Heath erklärt (der Rest seiner Antwort ist Unsinn)
• es gibt eine Phase (im Sinne von$\varphi$im Schreiben$e^{i\varphi}$, nicht im Sinne von Phase der Materie) zum Kondensat, daher haben Sie eine makroskopische Wellenfunktion, die dem Kondensat zugeordnet ist
• es erklärt die Temperaturabhängigkeit des Spaltes
• es macht das Kondensat zu einem perfekten diamagnetischen Material
• ...

Perfekter Diamagnetismus geht Hand in Hand ohne Widerstand. Die Demonstration, dass es keinen Strom / perfekten Diamagnetismus / keinen Widerstand gibt, der mit dem BCS-Ansatz verbunden ist, wird ausführlich in dem historischen Bericht erklärt, der die mikroskopische Theorie darstellt, nämlich

Bardeen, J., Cooper, LN, & Schrieffer, JR (1957). Theorie der Supraleitung . Physical Review, 108, 1175–1204.

Berechnungsdetails finden Sie auch in

Tinkham, M. (1996). Einführung in die Supraleitung (zweite Auflage). Dover Publications, Inc.

Siehe auch diese Antwort von mir zu einer verwandten Frage.

Soweit ich mich erinnere, lieferte Leggett auch viele verschiedene Berechnungen dieses Effekts, wie z

Leggett, AJ (1975). Eine theoretische Beschreibung der neuen Phasen von flüssigem He3 . Rezensionen der modernen Physik, 47, 331–414.

Die Berechnung ist allerdings etwas umständlich, daher versuche ich es ungern auf dieser Plattform. Fragen Sie gerne nach unklaren Details in den verlinkten Referenzen.

Beim zweiten Teil Ihrer Frage bin ich mir nicht sicher, aber ich glaube, ich kann Ihnen eine Antwort auf den ersten Teil geben. Die BCS-Versuchswellenfunktion schlägt eine Linearkombination eines gefüllten Fermi-See-Zustands vor (mit Wahrscheinlichkeit$|u_k|^2$) und einen Zustand mit einem Cooper-Paar (mit Wahrscheinlichkeit$|v_k|^2$). Wenn man den Erwartungswert des Paarungs-Hamiltonoperators berechnet und die Energie minimiert, wird man feststellen, dass das System bevorzugt im Cooper-Paarungszustand ist. Dies sagt uns, dass das System einen Cooper-gepaarten Zustand bevorzugen wird, solange wir ein attraktives Potenzial haben (egal wie klein). In einigen Gitterstrukturen liefern Phonon-Elektron-Wechselwirkungen dieses attraktive Potential.

Es ist diese unvermeidliche Bildung von Cooper-Paaren, die uns einen Widerstand von Null verleiht. Physik im kleinen Maßstab (wie Streuung) wird in die von diesem System beschriebene makroskopische Quantenmechanik aufgenommen, wie in dieser Antwort beschrieben. Daher wirken sich Streuprozesse nicht auf den Strom aus. Wie in Ihrer Frage und in der Diskussion im obigen Link angedeutet, ist Nullwiderstand daher nicht von der Existenz einer Lücke abhängig.

Eine gute Diskussion darüber, was Supraleitung verursacht , finden Sie hier. Eine hervorragende Diskussion aller Dinge über Supraleitung finden Sie in Tinkhams Buch.

Die Sache ist, dass man die Bandstruktur eines Isolators nicht mit der des BCS-Supraleiters vergleichen kann. Für den Isolator ist die Bandlücke eine Energielücke mit einer Zustandsdichte von Null im Elektronenraum. Beachten Sie, dass "Elektron" nicht das richtige Wort ist, da wir aufgrund der Wechselwirkung elektronenähnliche Quasiteilchen in einem Gitter haben, aber sie sind den Elektronen immer noch sehr ähnlich. Daher können "Elektronen" keine zusätzliche Energie aus einer externen Spannung gewinnen.

Betrachten wir nun den BCS-Hamiltonian. Wir sehen eine konstante Kondensationsenergie und einen Hamiltonoperator, der vertraut aussieht, da er im k-Raum geschrieben ist. Die Operatoren sind jedoch keine normalen elektronenähnlichen Operatoren. Sie sind Bogolibuov-Quasiteilchen, also Überlagerungen von Elektronen und Löchern. Daher kann ich diese Teilchen nur für eine genügend große Energie erzeugen. Für Energien (externe Spannungen) unterhalb dieser Schwellenenergie (bei T = 0) bleibt mein Grundzustand unverändert. Betrachtet man den Grundzustand, sehen wir einen kohärenten Zustand, der eine zugehörige Phase hat, die supraleitende Phase. Aus dieser Phase kann man viele Transportexperimente berechnen und zum Beispiel Supraströme sehen.

Aber was ist hier die Intuition? Wir müssen uns noch einmal ein normales Metall ansehen und sehen, was Widerstandsfähigkeit bedeutet. Es bedeutet Streuung. Elektronen, die ihren Zustand ändern oder in niedrigere Energiezustände zerfallen und Energie an eine Umgebung abgeben. Teilchen in einem supraleitenden BCS-Zustand können das aus den gleichen Gründen nicht wie Elektronen in einem Isolator: Es gibt keine verfügbaren Zustände mehr. Die Elektronen in einem Supraleiter sind jedoch an ihren kohärenten Zustand gebunden. Somit schützt der Spalt tatsächlich den kohärenten Zustand der Elektronen und damit die supraleitenden Eigenschaften. Beachten Sie, dass die Lücke für einen SC nicht erforderlich ist. Das Einzige, was wir brauchen, ist der elektronenkohärente Zustand, der sich auch lückenlos ausbilden kann. Es gibt unkonventionelle Supraleiter, die für bestimmte Richtungen keine Lücke haben, wo Kupferpaare leicht aufgebrochen werden.

Es bleibt die Frage, warum die kohärenten Zustände die Wirkungen der Supraleitung gewähren, nämlich perfekten Diamagnetismus und Nullwiderstand. Die Antwort liegt in QUANTUM. Was ich damit meine ist, dass es keine wirklich intuitive Erklärung mehr gibt. Man kann den Transport zwischen zwei kohärenten Zuständen berechnen und sehen, dass Strom ohne äußeren Einfluss fließt. Der DC-Josephson-Effekt ist ein rein quantenmechanischer Effekt. Gleiches gilt für den ac-Josephson-Effekt. Ich möchte gar nicht versuchen, eine intuitive Erklärung dafür zu formulieren, warum eine konstante Spannung einen Wechselstrom zwischen zwei Supraleitern induziert. Natürlich gibt uns die Mathematik eine Erklärung (eichinvariante Ableitungen usw.), aber es ist kein "Bild" damit verbunden. Wir müssen unsere „physikalische Intuition“ nutzen.