Diskrete Signale: Leistung und Energie nach Up/Downsampling

Ihr grundlegender Fehler ist, dass Leistung Energie pro Abtastung ist. Leistung ist Energie pro Zeit . Mit anderen Worten, P = E/t, nicht P = E/N, wie Sie es verwendet haben.

Das erneute Abtasten mit einer anderen Rate ändert nicht die Zeitdauer des Signals (t in der obigen Gleichung). Resampling mit einer niedrigeren Abtastrate verringert beispielsweise die Anzahl der Abtastungen, erhöht aber auch die Energie pro Abtastung.

Olin hat nicht recht.

N ist nicht t in der diskreten Zeit. N ist die Anzahl der (quadrierten) diskreten Samples, die Sie summieren. Es gibt kein Konzept der absoluten Zeit in der diskreten Zeit; Es gibt nur ganzzahlige Beispielindizes mit nichts dazwischen. Das Einfügen von N-1 Nullproben zwischen Proben ändert die gemessene Leistung unabhängig von der Probengröße, über der Sie messen, aber die Gesamtenergie oder Energie pro Probe ändert sich nicht.

Downsampling bewirkt das Gegenteil. Die Energie wird reduziert, aber die Leistung bleibt gleich.

Einzelheiten finden Sie unter http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/courses/DSPDF/01100_Multirate.pdf .

In Bezug auf die anderen Antworten: Olin betrachtet den entsprechenden Fall aus der realen Welt, aber beachten Sie das in$P = \frac{1}{T} \int\ x(t)^2 \mathrm{d}t$jede Zeitskala hebt sich auf, also geht sein Argument nicht wirklich auf. Sie werden es explizit sehen, wenn Sie das Integral durch eine Summe über Schritte in der Größe des Abtastzeitraums annähern:

$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t)^2 \mathrm{d}t \approx\frac{1}{N \Delta T} \sum_{n = 0}^{N-1} x(n\Delta t)^2\, \Delta t = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N-1} x(n\Delta t)^2\,$$ Wo $\Delta t$ist die Abtastperiode. Beachten Sie, wie die Zeit von der Skalierung abweicht.

Auf der anderen Seite spricht Seb über Macht im diskreten Bereich. Er hat technisch recht, aber ich verstehe, dass die Frage nach der Leistung des entsprechenden realen Signals ging, die natürlich nicht von der Abtastrate abhängen sollte. Lassen Sie mich versuchen, diese Ansichten zu kombinieren:

Upsampling durch Auffüllen mit Nullen stellt nicht das gleiche reale Signal dar . Überlegen Sie, was im Frequenzbereich passiert: für einen Upsampling-Faktor$k$Das Signal wird repliziert$k$mal. Zurück zum Zeitbereich: Wenn Sie das Signal richtig hochsampeln würden, würden Sie eine sinc-Funktion einfügen

$$k\, \mathrm{sinc}\left(\frac{n - n_0}{k}\right) = k \frac{\sin\left(\frac{\pi(n - n_0)}{k} \right)}{\pi (n - n_0)},$$ multipliziert mit $x[n_0]$, an jeder Position $n_0$wo es früher eine Probe und eine Summe gab. Beachten Sie, dass das Integral von sinc quadratisch mit der obigen Skalierung ist $k$(ändern Sie einfach die Variablen in der hier angegebenen Formel ).

Da die Summe$\sum_{n = 0}^N x[n]^2$ein Integral annähert, erhalten Sie grob$k$mal die ursprüngliche Gesamtenergie (obwohl ich hier die Kreuzterme in der Summe der Sincs eklatant ignoriert habe), aber andererseits, wie Sie bemerkt haben, haben Sie$k$multipliziert mit den Samples, über die Sie dividieren, sodass die Leistung bei richtigem Resampling gleich ist .

Zurück zum Punkt am Anfang über den Frequenzbereich: ob das Signal repliziert wurde$k$mal beim Zero-Padding, warum hat sich die Gesamtenergie nicht eher um den Faktor erhöht$k$? Dies liegt daran, dass es einen Faktor von gibt$1/N$im Satz von Parseval , der es Ihnen ermöglicht, die Energie aus der DFT zu berechnen. Aber nimmt die Gesamtenergie dann nicht ab , wenn wir für die Interpolation bandbegrenzen? Nicht wirklich, wie die Verstärkung unseres Interpolationsfilters ist$k$, und wenn der Satz von Parseval verwendet wird, um die Energie im Frequenzbereich zu berechnen, wird das quadriert. Die Energie wird also multipliziert mit$k^2$, andererseits beschränken wir das Spektrum auf$1/k$, also erhalten wir einen Gesamtfaktor von$k$, im Einklang mit unserer Zeitbereichsberechnung. Dies zeigt auch, dass ich, als ich die Querterme bei der Schätzung der Skalierung der Gesamtenergie ignoriert habe, überhaupt keinen Fehler gemacht habe.

Sie haben Recht. Die Leistung wird beim Upsampling aufgrund eines größeren Nenners reduziert, es sei denn, das Filter hat eine angemessene Verstärkung . Wenn dieser Gewinn der gleiche Faktor wie die Ratenänderung ist, steigt die Energie um den gleichen Faktor, aber im Ausdruck für Leistung werden beide aufgehoben und Sie erhalten am Ende die gleiche Leistung.

Um in Zahlen zu veranschaulichen, was Timo hier sehr schön beschrieben hat, kannst du diesen Artikel zur Abtastratenumwandlung lesen .