Warum brauchen wir Transformationen (Fourier, Laplace, Z und Wavelet usw.) für ein zu analysierendes Signal? Ist es für praktische Berechnungen und Analysen notwendig?
Nein, Transformationen sind nicht "notwendig", aber sie machen einige Arten von Berechnungen viel einfacher und bequemer.
Es ist möglich, alle Berechnungen und Analysen eines Signals entweder im Zeitbereich oder im Frequenzbereich durchzuführen. Einige Operationen sind jedoch viel einfacher und intuitiver als die anderen.
Dies kann mit etwas so Einfachem wie einem RC-Tiefpassfilter veranschaulicht werden. Wenn es sich um den Eingang eines Signals handelt, das Sie messen, möchten Sie vielleicht wissen, wie lange es an Verzögerung hinzufügt, damit sich das Ergebnis innerhalb eines gewissen Fehlers des Eingangssignals einpendelt. Dies geschieht am besten im Zeitbereich, indem die Gleichung des Ausgangssignals als Reaktion auf eine Einheitsschritteingabe geschrieben wird. Dies könnte im Frequenzraum erfolgen, wäre aber ziemlich kompliziert, und Sie müssten einige der Dinge, die Sie im Zeitbereich wissen, im Frequenzraum ausdrücken.
Wenn es sich andererseits um eine Audioanwendung handelt, möchten Sie vielleicht wissen, wie der Filter die Amplitude verschiedener Frequenzen beeinflusst. Das geht am einfachsten und intuitivsten, indem man den Filter im Frequenzraum ausdrückt. Die Reaktion auf einen bestimmten Sinuseingang könnte im Zeitbereich berechnet werden, aber es würde viel mehr Berechnung erfordern und nicht so intuitiv sein.
Zusammenfassend sind sowohl der Zeitbereich als auch der Frequenzraum vollständige und konsistente Betrachtungsweisen eines Signals, aber jede gibt unterschiedliche intuitive Einblicke und jede erschwert oder erleichtert unterschiedliche Arten von Problemen.
Alle Transformationen sind Werkzeuge, um die Analyse zu vereinfachen. Sie sind Werkzeuge, die Ingenieure, Wissenschaftler und Mathematiker im Laufe der Jahre entwickelt haben, um ihre Arbeit zu erleichtern oder ihnen zu helfen, das Phänomen, das sie betrachten, besser zu verstehen. Die Laplace-Transformation beispielsweise erleichtert das Lösen von Differentialgleichungen. Die Wavelet-Transformation hilft Ihnen bei der gleichzeitigen Analyse von Frequenz- und Zeitbereichen. Ich denke, das Wort, das Sie verwendet haben - "praktisch" - ist der Schlüssel. Diese Transformationen werden verwendet, um schwerfällige Probleme zu lösen und sie praktischer zu machen.
Es gibt einige Fälle, in denen die Frequenz direkt wichtig ist, wie z. B. Funkkommunikation und Audiowiedergabe. Aber im Allgemeinen sind die Laplace- und Fourier-Transformationen nett, weil sie bestimmte schwierige mathematische Operationen in einfachere umwandeln:
Differentiation -> Mit s multiplizieren
Integration -> Teile durch s
Faltung zweier Antwortfunktionen -> Multiplikation zweier Übertragungsfunktionen
Insbesondere letzteres ist sehr wichtig für den Umgang mit Rückkopplungskontrolle, so sehr, dass Laplace-Transformationen verwendet werden, selbst wenn es um Zeitbereichsphänomene wie Sprungantworten geht. Dies gilt für viele Bereiche der Technik, nicht nur für die Signalanalyse.
Transformationen sind nützlich, weil sie das Verständnis des Problems in einem Bereich einfacher machen als in einem anderen. Ich bin sicher, dass Sie es in jedem Bereich tun können, aber es wird viel komplexer sein.
Denken Sie an einen Filter. Was macht ein Filter? Denken Sie darüber nach, wie schwierig es wäre, jemandem die Schaltung im Zeitbereich zu erklären oder zu analysieren.
Manchmal ist es einfach einfacher, mit einer Domäne zu arbeiten als mit der anderen. Sie können eine RLC im Zeitbereich lösen, aber es handelt sich um eine Differentialgleichung 2. Ordnung. Sie können es absolut mit Kalkül lösen und die Ableitung von diesem und jenem bilden. Oder Sie können es in die S-Domäne transformieren (Laplace-Transformation) und die Schaltung mit einfacher Algebra lösen und dann Ihre Ergebnisse aus der S-Domäne zurück in die Zeitdomäne konvertieren (inverse Laplace-Transformation).
Einige Domänen sind nur das digitale Äquivalent, wie die Z-Domäne zur S-Domäne.
Transformationen (Fourier, Laplace) werden im Bereich der Frequenzautomatik verwendet, um Dinge wie Stabilität und Steuerbarkeit der Systeme zu beweisen.
Diese Transformationen werden hauptsächlich verwendet, um Differentialgleichungen unter verschiedenen Randbedingungen zu lösen, oder Sie können Grenzen nennen. Für Laplace können u positive Grenzen bis unendlich wählen, aber im Falle von Fourier-Grenzen können sie von minus bis plus unendlich reichen. Darüber hinaus variiert der Kernal auch für beide Funktionen, da er Iota in Exponential von Fourier-Kernals enthält, nicht jedoch in Laplace.