Warum ist ein Signal, das im Zeitbereich endlich ist, im Frequenzbereich unendlich?

Viele Texte beweisen, dass ein Signal nicht sowohl zeitlich begrenzt als auch bandbegrenzt sein kann. Es ist ein ziemlich tiefes Ergebnis und hängt von einer komplexen Analyse ab, aber der kürzeste Beweis, den ich kenne, beginnt mit einem bandbegrenzten Signal$f(t)$. Aus der Fourier-Transformation ist leicht zu zeigen, dass bandbegrenzt dies bedeutet$f(t)$ist über die gesamte komplexe Ebene analytisch, wenn es also in irgendeinem Intervall verschwindet (z$f(t) = 0 \mathrm{~for~} t>T$), dann verschwindet es überall. Daher kann ein bandbegrenztes Signal nicht zeitlich begrenzt werden. Die Umkehrung ist identisch. Sie finden dieses Zeug in strengeren Texten (z. B. Papoulis).

Ein handschwenkenderes Argument wäre, dass Sie es, wenn es bandbegrenzt ist, nicht ändern, indem Sie das Spektrum mit einem rechteckigen Fenster multiplizieren, daher ändern Sie es nicht im Zeitbereich, indem Sie mit a falten$\mathrm{sinc}$-Funktion - dies neigt dazu, es außerhalb jedes Zeitfensters zu verbreiten, von dem Sie annehmen, dass es enthalten ist.

Ihre Frage berührt auch Diskontinuitäten und Steigungen. Es gibt viele nützliche Ergebnisse über die Roll-Off-Rate in Abhängigkeit vom Grad der Diskontinuität. Aus dem Gedächtnis hat eine Funktion mit Sprungstellen ein Spektrum, das bei abfällt$\frac{1}{f}$, geht eine stetige Funktion mit Sprungstellen in der ersten Ableitung als$\frac{1}{f^2}$usw. Je glatter die Funktion (kontinuierlichere Ableitungen) desto schneller der Abfall des Spektrums, aber auch desto mehr zeitlich gespreizt.

Einige Probleme können von ernsthafter Mathematik profitieren. Angesichts der Tatsache, dass ein Signal beispielsweise auf eine bestimmte Bandbreite beschränkt werden muss, welche Wellenform konzentriert die meiste Signalenergie auf ein bestimmtes Zeitintervall? Die Lösung dafür sind die gestreckten Sphäroidfunktionen – siehe Papoulis' Buch Signal Analysis.

Warum hat ein einzelnes bandbegrenztes Signal in der Frequenz einen unendlichen Zeitbereich?

Die Annahme hier ist, dass, wenn die Zeit begrenzt wäre, es eine Diskontinuität und somit eine unendliche Anstiegszeit haben könnte, wenn die Proben ideal sind.

Dies ist jedoch in realen Systemen mit begrenztem BW nicht der Fall, daher wird davon ausgegangen, dass es sich um einen "stationären Zustand" handelt.

Daher ignorieren wir im Normalfall, wenn ein System mit Zeitgrenzen und Bandbreitengrenzen analysiert wird, alle Diskontinuitäten am Ende des "stationären Zustands".

Dies ist analog zu einem einfachen Tiefpassfilter mit angewendeter Einheitsstufenfunktion. Theoretisch kann der Schritt eine unendliche oder endliche Anstiegszeit sein und das Exponential erreicht niemals die Einheitsspannung, aber in der Praxis kann die Experimentdauer mit Toleranzen bei 10 T = 10 RC gestoppt werden.

An diesem Punkt = 10 T beträgt der Restfehler etwa 144 PPM und dV/dt hat die Anstiegszeit auf und die Bandbreite des Spektrums oder die Spitzenanstiegszeit t = 0,115 % reduziert, sodass sie mit hoher Genauigkeit mit ~ 142 x -3 dB BW erfasst werden konnte.

Theoretisch können Sie also nicht gleichzeitig begrenzte Zeit und spektrale Fourier-BW haben, aber wenn Sie eine Fehlertoleranz haben, können Sie beides haben.

Nur um andere Antworten hier zu ergänzen, eine prägnante Möglichkeit, diese Eigenschaft mathematisch genau anzugeben, besteht darin, zu sagen, dass " die Fourier-Transformation einer kompakt unterstützten L ^ 2-Funktion auf R ^ n holomorph ist, also - wenn sie nicht Null ist - ist nie kompakt unterstützt ". Dies ist ein Teil des Satzes von Paley-Wiener in der Funktionsanalyse, den Sie für einen Beweis nachschlagen können.