Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit

Die von Ihnen angegebene Formel$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$ist die Definition des Drehimpulses eines punktförmigen Teilchens bezüglich eines Punktes P. In diesem Fall haben natürlich Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit die gleiche Richtung. Bei starren Körpern (Ansammlungen vieler punktförmiger Teilchen) ergibt sich der richtige volle Drehimpuls zu:

$$\vec{L} = I \vec{\omega}$$ wo überhaupt$I$ist ein Tensor (der Einfachheit halber eine Matrix) in Abhängigkeit von Form und Massenverteilung des starren Körpers, Trägheitstensor genannt. Es ist im Allgemeinen möglich, dass, sobald Sie einen Referenzrahmen (z. B. mit$\omega$parallel zur$\hat{z}$Achse), könnte der Trägheitstensor in dieser Basis diagonal sein oder nicht. Wenn es diagonal ist, dann$\vec{L}$ist parallel zu$\vec{\omega}$, sonst nicht. Als Beispiel können Sie einen Zylinder betrachten, der gezwungen ist, sich um eine Achse zu drehen, die zu keiner seiner Hauptsymmetrieachsen parallel ist.

Ich hoffe, ich habe Ihre Frage richtig beantwortet; Wenn nicht, fragen Sie bitte nach Details.

Die Antwort von @Matteo ist eine korrekte Erklärung. Ich wollte jedoch die mitgelieferte Gleichung erweitern

$$\mathbf L=\hat I\boldsymbol\omega$$ Wo$\mathbf L$ist der Drehimpuls des starren Körpers,$\hat I$ist der Trägheitstensor , und$\boldsymbol \omega$ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor des starren Körpers. Wenn wir diese Gleichung explizit für drei Dimensionen aufschreiben, haben wir:

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{bmatrix} \end{equation}$$

Jedes Element des Trägheitstensors ist gegeben durch

$$I_{jk}=\int\rho(\mathbf r)\left(r^2\delta_{jk}-jk\right)\text dV$$ Wo$\delta_{jk}$ist das Kronecker Delta und$\rho$ist die Massendichtefunktion. Zum Beispiel: $$I_{xx}=\int\rho(\mathbf r)(y^2+z^2)\text dV$$ $$I_{xy}=-\int\rho(\mathbf r)xy\ \text dV$$ usw.

Lassen Sie uns nun, analog zu Ihrer Frage, fragen, was damit wahr sein muss$\mathbf L$Und$\boldsymbol\omega$zeigen in die gleiche Richtung? Nun, wenn zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, dann muss einer ein konstantes Vielfaches des anderen sein. Daher für einige konstant$\lambda$Wir müssen haben

$$\mathbf L=\lambda\boldsymbol\omega$$ Unter Verwendung unserer ersten Gleichung muss dies bedeuten: $$\hat I\boldsymbol\omega=\lambda\boldsymbol\omega$$

Dies ist ein wichtiger Gleichungstyp, der in der linearen Algebra und ihren Anwendungen häufig vorkommt. Mathematisch bedeutet dies, dass wir wollen$\mathbf\omega$ein Eigenvektor von sein$\hat I$mit einem Eigenwert von$\lambda$. Physikalisch bedeutet dies, wenn wir unser Objekt um eine solche Achse drehen$\hat I\mathbf\omega=\lambda\mathbf\omega$(Diese Arten von Achsen werden "Hauptachsen" genannt), dann zeigen unsere Drehimpuls- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren in die gleiche Richtung. Ist dies nicht der Fall, zeigen unsere beiden Vektoren in unterschiedliche Richtungen.

---

Es ist erwähnenswert, dass wir in typischen Physik-Einführungskursen normalerweise nur mit Koordinaten arbeiten, die an den Hauptachsen ausgerichtet sind, die mit Symmetrieachsen für die normalerweise betrachteten Volumina zusammenfallen (das macht unseren Trägheitstensor zu einer Diagonalmatrix). Zum Beispiel, wenn Sie sehen, dass das Trägheitsmoment einer Scheibe ist$\frac12MR^2$, was dir das wirklich sagt, ist$I_{zz}=\frac12MR^2$, und wir betrachten nur die Scheibe, die sich um diese Achse dreht, so dass$\boldsymbol\omega=\omega_z\hat z$. Daher wird unsere Gleichung

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} L_x \\ L_y \\ L_z \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \\ \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega_z \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_{zz}\omega_z \\ \end{bmatrix} \end{equation}$$

Also mit anderen Worten,$\mathbf L=I_{zz}\omega_z\hat z=\frac12MR^2\omega_z\hat z$.

Die physikalische Größe, die den Drehimpuls verbindet$\mathbf{J}$und Winkelgeschwindigkeitsvektor$\boldsymbol{\omega}$ist das Trägheitsmoment. Diese Größe ist jedoch kein Skalar. Ein Skalar würde nicht vom Koordinatensystem abhängen. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Rotationsachse entlang der z-Richtung verläuft. Dann schauen Sie sich folgendes Beispiel an: Drehen Sie einen Zylinder gleicher Massedichte und Länge$l$um seine Symmetrieachse. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment

$$I =\frac{1}{2}mr^2$$

Wo$m$ist die Masse des Zylinders und$r$sein Radius. Drehen Sie nun den Zylinder so, dass die Rotationsachse steht$90^{\circ}$senkrecht zur Symmetrieachse. Das Trägheitsmoment ist nicht dasselbe.

$$I =\frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2$$

Den Zylinder wieder so zu drehen, dass die Rotationsachse (z-Achse) die dritte Achse des Zylinders ist (ebenfalls senkrecht zur Symmetrieachse) ist identisch mit dem zweiten Fall. Je nach Ausrichtung des Zylinders im gewählten Koordinatensystem ist also das Trägheitsmoment des Zylinders unterschiedlich.

Dieses Verhalten des Trägheitsmoments kann durch die folgende Diagonalmatrix ausgedrückt werden (hier wird angenommen, dass die Symmetrieachse des Zylinders in z-Richtung verläuft.

$$I = \left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{4}mr^2 +\frac{1}{12}ml^2 & 0 \\ 0 & 0 &\frac{1}{2}mr^2\end{array}\right)$$

Nichtsdestotrotz wird in diesen Fällen für jede gewählte Achse – Hauptachse genannt –$\,\,\,\boldsymbol{\omega}$ist immer noch parallel zu$\mathbf{J}$.

Die Matrixform von$I$deutet es schon an: Das Trägheitsmoment ist eigentlich ein Tensor und nur wenn das Koordinatensystem so gewählt wird, dass es mit den drei Hauptachsen einer gegebenen Massenverteilung (hier eines Zylinders) zusammenfällt, kann es in Form einer Diagonalmatrix geschrieben werden. Wenn dies nicht der Fall ist, stellen Sie sich eine Rotationsachse (noch identisch mit der z-Achse) vor, die geneigt ist$\neq 90^\circ$zu einer der Hauptachsen des Körpers (hier ein Zylinder), der Matrix$I$wird nicht-diagonal und die Beziehung zwischen$\boldsymbol{\omega}$Und$\mathbf{J}$wird allgemeiner:

$$\mathbf{J}= I \cdot \boldsymbol{\omega}$$

bei dem die$\cdot$ist eine Matrixproduktmultiplikation. In diesem Fall$\,\,\,\boldsymbol{\omega}$ist nicht mehr parallel zu$\mathbf{J}$.