Drehimpuls und Zweites Keplersches Gesetz

Lassen Sie mich vorab sagen, dass ich zumindest qualitativ den Kern der Drehimpulserhaltung verstanden habe. Um meine Frage besser zu veranschaulichen, werde ich den Fall eines Planeten betrachten, der einen Stern umkreist.

Wenn wir davon ausgehen, dass die Gleichung für den Drehimpuls lautet:

L = M ∗ R ∗ v

Wo:

M = ist die kombinierte Masse des Stern-Planeten-Systems

R = die Umlaufbahn (große Halbachse) des Planeten

v = die Umlaufgeschwindigkeit des Planeten

Da die Masse nun mehr oder weniger konstant ist, ignorieren wir das. Außerdem muss der Planet gemäß Keplers 2. Gesetz schneller umkreisen, wenn er näher an seinem Wirtsstern ist und umgekehrt. Hier ist, was ich nicht verstehe:

Wenn wir abnehmen R um einen bestimmten Betrag, heißt das nicht v ebenfalls um den gleichen Betrag zunehmen, damit der Gesamtdrehimpuls erhalten bleibt? Wenn das stimmt, warum scheint es dann in der Praxis nicht der Fall zu sein? Das heißt, es ist für mich ziemlich offensichtlich, dass die Umlaufgeschwindigkeit eines Planeten nicht um den gleichen Betrag zunimmt, um den sich seine Umlaufdistanz verringert hat.

Ich hoffe, das ist klar. Ich versuche, die Beziehung zwischen rund vin Bezug darauf zu verstehen, wie sie sich gegenseitig kompensieren, um zu sparen L. Intuitiv muss einer um den gleichen Betrag zunehmen, um den der andere verringert wurde, aber irgendwie scheint mir das kein realistisches Szenario zu sein. Was verstehe ich falsch?

BEARBEITEN: Dank Bill Ns Kommentar unten glaube ich, dass mein Missverständnis darauf zurückzuführen ist, dass ich angenommen hatte, dass die Erhöhungen und Verringerungen additiv sind, wo sie tatsächlich multiplikativ sind. Bitte zögern Sie nicht, weitere relevante Kommentare hinzuzufügen, andernfalls betrachten Sie diese Frage als beantwortet.

Sie machen eine Aussage: "Das heißt, es ist für mich ziemlich offensichtlich, dass die Umlaufgeschwindigkeit eines Planeten nicht um den gleichen Betrag zunimmt, um den sich seine Umlaufbahn verringert hat." Aber du gibst keine Beweise. Die experimentellen Beweise von jedem Satelliten und jedem Planeten und jedem Kometen, die wir je gemessen haben, dass das, was für Sie offensichtlich ist, falsch ist. Und denken Sie daran, dass die Zunahmen und Abnahmen nicht additiv sind, sie sind multiplikative Verhältnisse. Wenn Sie Beweise anführen wollen, tun Sie es. Sie haben kein realistisches "Missverständnis" angegeben. Sie haben nur Unglauben geäußert.
Es gibt auch einen Faktor von Sünde ⁡ θ das ist aus Ihrer Formel für weggelassen L . θ ist der Winkel zwischen dem radialen Vektor und dem Geschwindigkeitsvektor. L = M v R Sünde ⁡ θ .
Können Sie erklären, was Sie mit „multiplikativen Verhältnissen“ meinen? Ich denke, das ist, was ich falsch gemacht habe. Außerdem habe ich nicht wirklich einen Anspruch erhoben. Entschuldigung, wenn es so klang. Ich verstehe die Situation wirklich nicht.
Egal. Ich verstehe jetzt. Vielen Dank!

Antworten (1)

Der Drehimpuls der Umlaufbahn von Planeten und Satelliten bleibt bis zur ersten Ordnung konstant, da die Gravitationskraft kein Drehmoment auf das System ausübt. Das bedeutet, dass an jedem Punkt der Umlaufbahn des Satelliten relativ zum Kraftzentrum (dem Stern oder möglicherweise einem Planeten im Falle eines Mondes oder eines künstlichen Satelliten) gemessen wird L = μ v R Sünde ⁡ θ , Wo μ ist die reduzierte Masse des Systems. Denn das Drehmoment ist Null und μ ist konstant, v R Sünde ⁡ θ muss konstant sein. Der Winkel θ ist der Winkel zwischen dem Positionsvektor, R → vom Kraftzentrum zum Satelliten und dem Geschwindigkeitsvektor, v → .

Vergleichen wir zwei Orbitalpunkte, die Periapsis (nächste Annäherung, R → P ) und Apapsis (entferntester Punkt, R → A ), der Ellipsenbahn. Das Kraftzentrum befindet sich in einem Brennpunkt der Ellipse. An diesen beiden Punkten θ = 90 Ö , So

v P R P = v A R A .
Weil R A > R P das sehen wir schnell
v P = v A R A R P > v A
oder, in Worten, die Geschwindigkeit an der Periapsis ist um ein Verhältnis schneller als die Geschwindigkeit an der Apapsis R A R P . An Punkten dazwischen, Sünde ⁡ θ ist kleiner als 1, geht aber nie auf null. Die langsamste Geschwindigkeit ist an der Apapsis, und die Geschwindigkeit nimmt kontinuierlich und vorhersagbar, aber nicht linear bis zur Periapsis zu. Die tatsächliche Beschleunigungsgröße hängt von der Exzentrizität der Ellipse sowie der großen Halbachse ab. Weitere Details finden Sie in jedem College-Mechanikbuch für Fortgeschrittene.

Nicht genug Punkte für Physics SE, um hochzustimmen, aber nochmals vielen Dank für die Details! Da bin ich anfangs schief gelaufen. Ich hatte angenommen, dass die Zunahmen/Abnahmen additiv sind (was sich anhört, wenn es qualitativ beschrieben wird).
@BillN Hallo, Bill. Können Sie erklären, warum der Drehimpuls in erster Ordnung konstant bleibt ? Unter der Annahme, dass die Planeten eine ideale Form haben, ist die Konstanz des Drehimpulses nicht exakt?
Es gibt andere Planeten, die Drehmomente aufeinander ausüben. Die Drehmomenteffekte sind auf einem Planeten (große Masse) sehr gering, aber wir nutzen sie, um kleine Massensatelliten in verschiedene Umlaufbahnen zu bringen. So haben wir die Voyagers und New Horizons zum Pluto und darüber hinaus gebracht.
Drehimpuls und Zweites Keplersches Gesetz
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