Angesichts dieser Frage:
Ein kleiner Masseball und Radius rollt ohne zu rutschen auf der Innenfläche einer festen halbkugelförmigen Schüssel mit Radius . Welche Frequenz haben kleine Schwingungen?
Die Standardlösung besteht darin, das zweite Newtonsche Gesetz für den Ball zu schreiben und dann den Massenmittelpunkt des Balls als Drehpunkt zu nehmen und zu schreiben
In diesem Fall trägt nur die Reibungskraft zum Drehmoment bei. Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz kann ich die Reibungskraft in Bezug auf die Gravitationskraft ausdrücken und daher kann die Reibungskraft in der Gleichung für das Drehmoment eliminiert werden. Ich mache dann eine Kleinwinkelannäherung und erhalte die Gleichung in der Form
woraus ich die Frequenz entnehmen kann.
Ein anderer Ansatz verwendet den Kontaktpunkt der Kugel mit der Kugel als Drehpunkt. Es hat den Vorteil, dass die Reibungskraft kein Drehmoment hinzufügt. Beide Ansätze liefern das gleiche Ergebnis.
Meine Frage ist, da beide Drehpunkte, die wir gewählt haben, beschleunigen, warum werden fiktive Kräfte nicht berücksichtigt? An erster Stelle können die Drehpunkte stehen, die wir beim Schreiben wählen
beschleunigen?
Tatsächlich haben Sie recht damit, dass Sie die fiktive Kraft im beschleunigten Bezugssystem betrachten sollten. Daher ist die Nutzung des Berührungspunkts zwischen Masse und Schüssel eigentlich nicht ideal. Beachten Sie, dass im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts eine fiktive Kraft für den beschleunigten Bezugsrahmen betrachtet wird, die am Massenschwerpunkt angreift und daher kein Drehmoment ausübt. Das ist besser.
Allerdings sind der Schwerpunkt und der Kontaktpunkt zwischen Ball und Schale eigentlich nicht die Bezugspunkte, die ich verwenden würde. Stattdessen würde ich den Krümmungsmittelpunkt der Schale verwenden, da dieser Bezugspunkt nicht beschleunigt und dennoch den Vorteil hat, dass die Normalkraft aus der Drehmomentgleichung ausgeschlossen wird.
tl; dr : Sie können die fiktive Kraft im Bezugsrahmen des Massenmittelpunkts nur ignorieren, aber ansonsten müssen Sie sie zu Recht einbeziehen.
Meine Frage ist, da beide Drehpunkte, die wir gewählt haben, beschleunigen, warum werden fiktive Kräfte nicht berücksichtigt?
Pivot beschleunigt, wenn es sich um einen geometrischen Punkt handelt, der als Kontaktpunkt definiert ist. Pivot beschleunigt nicht, wenn es der materielle Punkt der kleinen Kugel ist; es steht still und hat keine Beschleunigung. Die aus der Bewegungsgleichung resultierende Beschreibung erfolgt im Schalenrahmen, der als Trägheitsrahmen gilt, also keine Trägheitskräfte.
John Alexiou