Durchschnittliche Energie für ein freies Elektronengas bei T=0K

Nehmen wir an, Sie haben eine Verteilung$D(x)$. Wenn wir wollen, dass dies Wahrscheinlichkeiten darstellt, dann muss es das sein

$$A=\int D(x) dx=1$$

Was wir also tun können, ist einfach eine neue Funktion in Bezug auf zu definieren$D(x)$und dieses Integral über den Definitionsbereich von$D$:

$$P(x)=\frac{1}{A}D(x)$$

Damit das Integral über den Definitionsbereich von$P$Ist$1$.

Nun, wenn wir den Durchschnitt von finden wollen$x$durch diese Verteilung beschrieben, verwenden wir die Definition des Durchschnitts

$$\langle x \rangle=\int x P(x) dx=\frac{1}{A}\int xD(x) dx=\frac{\int xD(x) dx}{\int D(x) dx}$$

Wie Sie sehen können, ist es vorteilhaft, den Durchschnitt so zu schreiben, wenn das Integral Ihrer Verteilung nicht gleich ist$1$über den gesamten Bereich der Verteilung, aber Sie möchten die Verteilung trotzdem als Wahrscheinlichkeitsverteilung verwenden.

Körperlich, wenn wir dabei sind$T=0$dann ist das Integrieren über die Zustandsdichte dasselbe wie das Zählen von Elektronen, also$\int D(E) dE$wird gleich sein$N$. Um es kurz zu machen, Sie haben recht.

Beginnen wir mit der Fermi-Dirac-Verteilungsfunktion

$$n_k(T) = n(\epsilon_k, T) = \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu(T))/T}+1}.$$ Der Index $k$bezeichnet die Zustände des Systems, und ich habe die Temperaturabhängigkeit von beiden explizit eingeschlossen $n_k$und das chemische Potential $\mu$. Außerdem verwende ich Einheiten wie die Boltzman-Konstante $k_B = 1$.

Bei$T = 0$, das chemische Potential eines Systems von$\textit{fermions}$ist ungefähr konstant und gleich der Fermi-Energie$E_F$vom System:$\mu(T=0) \approx E_F$. Qualitativ verstehen wir das da$E_F$ist die niedrigste Energie (über dem Grundzustand$E_0 = 0$) unbesetzter Zustand des Systems und$\mu$kann im Allgemeinen als die Energie angesehen werden, die erforderlich ist, um ein Teilchen zu erzeugen oder einem System hinzuzufügen. Bei Nulltemperatur dann$\mu = E_F$zu einer Näherung niedrigster Ordnung. Nun, eine sorgfältige Untersuchung des FDD wird dies offenbaren$T \rightarrow 0$es wirkt wie eine Sprungfunktion:$n(\epsilon_k, 0) = 1$für$\epsilon_k < E_F$Und$n(\epsilon_k, 0) = 0$für$\epsilon_k > E_F$. Das reicht für unsere Rechnung. Weitere Einzelheiten finden Sie unter https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_expansion .

Nun haben Sie nach der Energie pro Elektron eines solchen Systems gefragt. Wir brauchen zwei Dinge (1) die Gesamtenergie des Systems$E$und (2) die Teilchenzahl$N$. Um beides zu berechnen, haben Sie sich auf ein Integral über Energien einer Energiedichte-Zustandsfunktion berufen$D(\epsilon)$. Diese Methode funktioniert wunderbar, kann aber etwas stumpf sein. Kehren wir stattdessen zur Berechnungsfunktion der Fermi-Dirac-Verteilung (FDD) zurück, die ich am Anfang des Beitrags geschrieben habe$E$Und$N$.

In die Definition des FDD habe ich ein staatliches Etikett aufgenommen$k$. Für System auf Temperatur$T$, eine durchschnittliche Zahl$n_k$von Partikeln wird den Zustand besetzen$k$mit Energie$\epsilon_k$. Um die Gesamtzahl der Teilchen im System zu finden, brauchen wir also nur zu summieren$n_k$über alle Staaten$k$:

$$N = \sum_k n_k.$$ Für unser Elektronensystem können wir jeden Zustand anhand seiner Position benennen $\vec{x}$und Schwung $\vec{p}$und Spin, der einen von zwei Werten annimmt. Also die Summe über alle Zustände $k$entspricht einem Integral über Ort und Impuls mal einem Spinentartungsfaktor von 2: $$\sum_k = 2 \int \frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3}.$$ Die Normierung des Integralmaßes durch die Plancksche Konstante $h$ist aus Dimensionsgründen notwendig und definiert gewissermaßen die "Größe" eines Zustands im Phasenraum.

Erinnern Sie sich nun an unser Ergebnis für$n_k$bei$T = 0$:$n_k$ist nur ungleich Null für Zustände mit Energie kleiner als$E_F$. Ist die Energie eines Zustandes mit Impuls$\vec{p}$wird von gegeben$\epsilon(p) = \frac{p^2}{2m}$, dann wird unser Integral auf einen Impuls der Größenordnung kleiner als beschränkt$\sqrt{2mE_F}$. Dann unser Ausdruck für$N$wird

$$N = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} = \frac{4\pi V}{h^3} \int_0^{\sqrt{2mE_F}} p^2 dp = \frac{4\pi V}{3 h^3}(2mE_F)^{3/2}.$$ Hier, $V$ist das Volumen des Systems.

Wir können das gleiche Spiel mit der Energie spielen. Die Logik ändert sich nicht:

$$E = \sum_k \epsilon_k n_k = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} \frac{p^2}{2m}$$ .

Ich belasse diese Bewertung als Übung. Das Verhältnis$\frac{E}{N}$ist, was du suchst.