Ferminiveau und Leitfähigkeit

Fermi-Energie

Wenn Sie bei Nulltemperatur arbeiten,$T = 0$K und füllen die Energiezustände eines Systems nach dem Pauli-Ausschlussprinzip, die Fermi-Energie ist die Grenze, an der alle unteren Zustände voll und alle höheren Zustände leer sind. Bei$T = 0$diese Grenze ist eine scharfe Linie.

Angenommen, Sie haben eine Leiter mit fünf Stufen, die Sie mit zehn Elektronen „füllen“ müssen. Aufgrund des Pauli-Ausschlussprinzips kann jeder Schritt nur zwei Elektronen aufnehmen. Jetzt füllst du die Leiter auf: 2 Elektronen in der ersten Stufe, die nächsten zwei in der zweiten Stufe und so weiter, bis du die letzten beiden Elektronen in die 5. Stufe gesteckt hast. Die Energie bei diesem Schritt (dem 5. Schritt) ist Ihre Fermi-Energie.

Metalle haben Fermi-Energien von mehreren Elektronenvolt (eVs). (Cu: 7 eV, Al: 11 eV) Zum Vergleich ist die thermische Energie bei Raumtemperatur ca$k_B T \sim$0,025 eV.

Zusammenhang mit der Leitfähigkeit

Zunächst müssen Sie wissen, dass nur Elektronen mit einer Energie nahe der Fermi-Energie am Leitungsprozess teilnehmen können. Warum? Ich erwähnte das vorhin bei$T = 0$, ist die Fermi-Energie eine scharfe Linie. Bei$T > 0$, wird diese scharfe Linie „ausgewaschen“ und Sie erhalten so etwas:

$\hspace{1.8in}$

Das bedeutet, dass Sie statt nur voller und leerer Zustände jetzt halbleere Zustände über und unter der Fermi-Energie haben. Das bedeutet wiederum, dass Sie jetzt Elektronen in höheren Energiezuständen anregen können, was Sie tun müssen, wenn Sie sie in eine Richtung beschleunigen möchten; dh, wenn Sie daran arbeiten möchten.

Aber in Folge der geringen Beiträge der thermischen und elektrischen Energie (therm$\sim$0,025 eV, elektrisch weniger), können Sie Elektronen nur SEHR NAH an der Fermi-Energie anregen ($E_F$). Also nur Elektronen in der Nähe$E_F$trägt zur Leitung bei.

Mit diesem$E_F$Sie können eine Geschwindigkeit zuordnen, die Fermi-Geschwindigkeit:

Kommen wir nun zur Leitfähigkeit:

Die Leitfähigkeit$\sigma$ist definiert als

Man kann erhalten$\tau$aus$\mathscr{l}$, der mittlere freie Weg zwischen zwei Stößen, gegeben als$\mathscr{l} = v_F \tau$oder umgekehrt,$\tau = \mathscr{l}/v_F$. Während dieser Zeit wird das Elektron beschleunigt. EIN GROSSER$v_F$führt daher zu einer KURZEN Beschleunigungszeit und WENIGER Geschwindigkeitsgewinn für das Elektron in einer bestimmten Richtung.

Schließlich können Sie die Leitfähigkeit schreiben als:

Erinnere dich daran$v_F$, die Fermi-Geschwindigkeit, steht in direktem Zusammenhang mit der Fermi-Energie$E_F$.

Betrachten Sie als Beispiel diese Tabelle der Fermi-Energien: Kupfer hat eine NIEDRIGE Fermi-Energie (7 eV) als Aluminium (11 eV), also hat es eine NIEDRIGE Fermi-Geschwindigkeit; daher die Zeit zwischen zwei Kollisionen ($\tau$) ist LÄNGER als bei Aluminium. Dies wiederum bedeutet, dass das Elektron MEHR Zeit hat, um in eine bestimmte Richtung zu beschleunigen, was letztendlich erklärt, warum Kupfer ein besserer Leiter ist.

Ich nehme an, es hängt davon ab, wie Sie "einfach" definieren, aber meiner Meinung nach ist die beste Antwort nein ; Das Erklären von Tausenden von Seiten aus Büchern über QM, Festkörperphysik, Elektronik, Rheologie usw. "auf einfache Weise", wie es die Frage erfordert, impliziert, dass diese Werke auf wenige Seiten reduziert werden könnten, was für den Nennwert unwahrscheinlich erscheint.

Gregor Michalicek hat argumentiert (siehe Kommentare unten), dass man dieses Problem übersehen und eine andere Version der Frage beantworten sollte, in der die einfache Klausel entfernt wurde. Ich bin nicht einverstanden. Ich denke, es gibt viele Beispiele in der Wissenschaftsgeschichte, in denen schlechte Wissenschaft betrieben wurde, weil Menschen Probleme beschönigten oder implizite oder versteckte Annahmen in ihrer Forschung ignorierten.

Jedenfalls ist meine Antwort, dass „nein“ die beste Antwort ist, wahrscheinlich unmöglich zu beweisen. Aber um zu versuchen, meinen Fall zu vertreten, werde ich sehen, ob die andere Antwort hier sowohl richtig als auch einfach ist. Wenn ich recht habe, ist es entweder falsch oder nicht einfach.

Als Vorbemerkung hat die andere Antwort hier von NoEigenvalue derzeit ein grünes Kontrollkästchen, 5 Upvotes, eine Bearbeitung durch einen Rezensenten und einen positiven Kommentar. Auf den ersten Blick würde man also denken, dass meine Antwort falsch ist, denn wenn ich richtig liege, deutet dies darauf hin, dass nicht nur eine Person hier, sondern auch die Community falsch liegt.

Lassen Sie uns trotzdem sehen, ob es Probleme mit der Antwort von NoEigenvalue gibt oder ob es nicht so einfach ist, wie es scheint.

Die Antwort beginnt mit dem Versuch zu erklären, was die Fermi-Energie unter Verwendung des Bohr-Modells eines Atoms ist. Es wird dann jedoch übersprungen zu sagen, was Fermi-Energien für einige Metalle sind. Dies geschieht durch Verweise auf externe Tabellen. Es überspringt vollständig die Ableitung basierend auf freien Elektronendichten und unternimmt keinen Versuch, sie zu verbinden. Ich werde später zeigen, dass dies ein Problem darstellt, da eine nicht angegebene Abhängigkeit das Argument von NoEigenvalue beeinflusst.

Dann behauptet die Antwort von NoEigenvalue: "Zuerst müssen Sie wissen, dass nur Elektronen mit einer Energie nahe der Fermi-Energie am Leitungsprozess teilnehmen können ... At$T>0$...Sie können [erst] jetzt Elektronen in höheren Energiezuständen anregen, was Sie tun müssen, wenn Sie sie in eine Richtung beschleunigen wollen ; dh, wenn Sie an ihnen arbeiten [dh Strom erzeugen] wollen.“ (Hervorhebung vorausgesetzt) ​​Dieses Argument wird nicht erklärt. Es ist eigentlich auch rückwärts. Ich habe dieses Missverständnis hier entlarvt diese Metalle bei niedrigen Temperaturen, wo laut Argument keine Elektronen vorhanden wären, um Strom zu tragen, und die Leitung wäre 0. In Wirklichkeit ist dies der Fall, in dem die Leitung maximiert wird und der spezifische Widerstand (der Kehrwert) sich einem Minimum nähert:

Als nächstes behauptet der Autor das$\sigma$ist definiert durch$ne^2\tau/m$Wo$n$ist die Anzahl der Elektronen [pro Volumeneinheit] ... Falsch. Die Definition der Leitfähigkeit ist das Verhältnis von Strom zu Feld oder die Leichtigkeit des Stromflusses beim Drücken. Der zitierte Ausdruck vermittelt weitgehend nur eine Illusion von Vertrauen, indem er einen freien Parameter einführt,$\tau$, mit einer neuen Gleichung, die nicht unbedingt neue physikalische Informationen liefert. Es definiert also wirklich$\tau(\sigma)$, die als Impulsaustauschzeitskala einer Elektronenwolke mit einem Ionengitter angesehen werden kann.

Als nächstes sehen wir$\sigma=ne^2l/mv_F$und ein Argument darüber, wie wenn$v_F$bei Kupfer niedriger ist als bei Aluminium, dann ist der Strom höher. Nicht angegeben ist, dass dies darauf beruht$n$Und$l$in beiden Metallen gleich ist, was unwahrscheinlich ist. In der Tat war dies mein oben gemachter Punkt, dass eine Ableitung von$E_F(n)$fehlte. Es scheint ziemlich bequem zu sein, da es das spätere Argument ändert; Aluminium ist also dreifach ionisch statt einfach ionisch$n$erhält einen Faktor von drei, und es endet damit, dass es eine freie Elektronendichte hat, die ein Faktor von ist$21.1\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}/8.49\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}\simeq 2.5$die aus Kupfer . Dieser relativ große Faktor überholt die Energie/Geschwindigkeit, die von NoEigenvalue in einem offensichtlichen Versuch, das endgültige Argument für die Beantwortung einer Frage auf einfache Weise zu liefern, da dieser Faktor einfach ist, überholt wird$11/7\simeq 1.6$wird aufgrund der Quadratwurzelfunktion bei der Umwandlung von Energien in Geschwindigkeiten weiter auf 1,3 abgeschwächt. Also zum Nennwert, wenn Sie die Varianz von einbeziehen$n$In der Argumentation von NoEigenvalue würde es tatsächlich sagen, dass Aluminium eine größere Leitfähigkeit hat. Dies ist eindeutig ein Problem mit der gegebenen Antwort, dass die Frage lautet, warum Kupfer eine größere Leitfähigkeit hat.

Zusammenfassend glaube ich gezeigt zu haben, dass die vermeintlich einfache Antwort sowohl zu einfach als auch in vielerlei Hinsicht falsch ist. Dies ist kein Beweis dafür, dass die beste Antwort „Nein“ ist, aber es ist wahrscheinlich ein starkes Argument dafür, dass „Nein“ eine vernünftige Antwort, wenn nicht sogar die beste Antwort ist.

Letztendlich denke ich, dass die Natur nicht immer so trivial ist wie die fiktive Version, die Menschen manchmal aufgrund ihrer eigenen Arroganz erfinden, weil sie glauben wollen, dass sie persönlich wissen, was vor sich geht, und anscheinend die Version der Realität, die Sie suchen über deine Frage. Demut ist ein wichtiger Partner von Neugier und guter Forschung, und man sollte sie nicht in einem egoistischen Wunsch zurücklassen, sich selbst zum Weiterkommen zu verleiten.