Eigenenergie des Elektrons in QED in willkürlicher Stärke

Sie müssen die fiktive Masse des Photons nicht einführen: Die dimensionale Regularisierung kann sowohl für IR-Divergenzen als auch für UV-Divergenzen verwendet werden.

Verwenden Sie zunächst Gamma-Matrizen-Identitäten,

$$\gamma_{\mu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\mu} = (2 - d)\gamma^{\alpha} ,\quad [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_{+} = 2g_{\mu \nu}, \quad g_{\mu}^{\mu} = d$$ und tun Sie einfach, was Sie behauptet haben: Sie erhalten (hier habe ich bezeichnet $\epsilon = 1 - \eta$, Wo $\eta$ist Gauge-Parameter) $$-M^{4 - d}q_{e}^{2} \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} +$$ $$+ \epsilon M^{4 - d}q_{e}^{2} \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\left( \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}\right) .$$ Der letzte Summand verschwindet als antisymmetrische Funktion von $k$über symmetrische Grenzen integriert. Wie Sie sehen können, tragen Eichbegriffe nicht zur Masse bei, $\delta m_{\epsilon} = 0$, da die Massenkorrektur auf der Massenschale berechnet wird $p\!\!\!/ = m, p^{2} = m^{2}$.

Als nächsten Schritt müssen Sie Feynman-Parameter einführen:

$$\frac{1}{(k^{2} + i\varepsilon )^{n}((p-k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} =$$ $$=n\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{((k - p(1 - x))^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{n + 1}}.$$ Danach müssen Sie eine Schicht machen $k \to k + p(1 - x)$. Nachdem Sie linear in k-Termen vernachlässigt haben, sollte Ihr Vorergebnis schließlich so aussehen $$-M^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}$$ $$-M^{4 - d}q_{e}^{2}dm\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} +$$ $$M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2} }} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}}-$$ $$- M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon(p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}.$$ Im dritten Summanden können Sie einstellen $d = 4$, während Sie in der anderen Identität verwenden können (vergessen Sie nicht, den Nenner dimensionslos zu machen, indem Sie verwenden $M$) $$\frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2} \right)}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{X^{2 - \frac{d}{2}}} \approx \frac{1}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left( \frac{1}{4 - d} - C + ln(4 \pi ) - ln(X)\right),$$ Wo $C$Euler-Konstante ist. Das Ergebnis dieser Manipulationen sind endliche Integrale, die durch parametrisiert sind $4 - d = \gamma$Und $\mu$.