Eigenfrequenzen eines Torsionssystems

Deine Zeitgleichungen der Bewegung sehen gut aus. Das meiste, was Sie getan haben, ist richtig, es gibt einige Feinheiten in der Bedeutung der charakteristischen Gleichung$J_1J_2\omega^4 - k_t(J_1 + J_2)\omega^2 = 0$(was Sie richtig verstanden haben) und Sie müssen sich die Physik und ihre Beziehung zu den Anfangsbedingungen ansehen.

Die Annahme der realen, trigonometrischen Form ist ein Problem, da Sie für die beiden unterschiedlichen zwei verschiedene Phasenwinkel annehmen müssen$\theta$s, dh Sie müssen davon ausgehen$\theta_i(t) = \hat{\theta}_i\cos(\omega\,t+\phi_i)$. Die Kosinusfunktionen fallen also nicht ganz so aus Ihren Gleichungen heraus, wie Sie es sich vorstellen. Was Sie brauchen, ist, Funktionen des Formulars zu übernehmen$\theta_i(t) = \hat{\theta}_i\exp(-i\,\omega\,t)$, sodass der Phasenwinkel in der Phase der komplexen Skalierungskonstanten kodiert werden kann$\hat{\theta}_i$. Wenn Sie dieses Formular verwenden, finden Sie dann zwei Ihrer natürlichen Frequenzen, genau so, wie Sie sie abgeleitet haben . Es gibt tatsächlich sowohl eine positive als auch eine negative Eigenfrequenz; beide müssen vorhanden sein, damit wir aus den komplexen Exponentialen reellwertige trigonometrische Funktionen aufbauen können: Jede Summe von Lösungen ist auch eine Lösung für diese linearen Gleichungen. Aber es gibt auch zwei Lösungen$\omega^2 = 0$. Somit muss auch in der Lösung ein konstanter Term vorhanden sein (entsprechend der Nullfrequenzlösung). Tatsächlich bedeutet die wiederholte Wurzel, dass eine lineare Funktion der Zeit die Gleichung erfüllt (versuchen Sie Lösungen der Form$\theta_j(t)=A_j\,t+B_j$; Dies sind Lösungen, solange$A_1=A_2$Und$B_1 = B_2$). Weil wir wissen, dass die Lösung für alle real sein muss$t$, müssen die Lösungen die Form haben:

$$\theta_1(t) = \hat{\theta}_1\,\exp(-i\,\omega_0\,t) + \hat{\theta}_1^*\,\exp(+i\,\omega_0\,t) + A\,t+B$$ $$\theta_2(t) = \hat{\theta}_2\,\exp(-i\,\omega_0\,t) + \hat{\theta}_2^*\,\exp(+i\,\omega_0\,t) + A\,t+B$$

Wo$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_t\,(J_1+J_2)}{J_1\,J_2}}$wie du gefunden hast und$A\,B$sind real. Beachte das$B$einem konstanten Winkelversatz des Systems entspricht, und$A$eine konstante Winkelgeschwindigkeit des Systems um seine Achse: Sie können jede allgemeine Lösung nehmen, die Sie erhalten, und das System auf diese Lösung in eine gleichmäßige Drehbewegung versetzen, und die Gesamtbewegung ist immer noch eine allgemeine Lösung.

Seit$\dot{\theta}_j(0) = 0$wir bekommen

$$i\,\omega_0(\hat{\theta}_j^*-\hat{\theta}_j) + A=0$$

so dass:

$$-2\,\mathrm{Im}(\hat{\theta}_j)=-2\,\mathrm{Im}(\hat{\theta}_1)=-2\,\mathrm{Im}(\hat{\theta}_2)=A$$

Um den Wert von zu finden$A$, beachten wir, dass das System mit einem Drehimpuls von Null beginnt ($\dot{\theta}_1(0)=\dot{\theta}_2(0)=0$). Der Drehimpuls muss erhalten bleiben, daher müssen wir jederzeit haben:

$$\begin{array}{lcl}J_1\,\dot{\theta}_1(t) + J_2\,\dot{\theta}_2(t) &=& J_1\,\left(i\,\omega_0(\hat{\theta}_1^*\,\exp(i\,\omega_0\,t)-\hat{\theta}_1\,\exp(-i\,\omega_0\,t) + A\right)+J_2\,\left(i\,\omega_0(\hat{\theta}_2^*\,\exp(i\,\omega_0\,t)-\hat{\theta}_2\,\exp(-i\,\omega_0\,t) + A\right)\\ &=&J_1\,\left(A-2\,\omega_0\,|\hat{\theta}_1|\,\sin(\omega_0\,t+\arg\hat{\theta}_1)\right)+J_2\,\left(A-2\,\omega_0\,|\hat{\theta}_2|\,\sin(\omega_0\,t+\arg\hat{\theta}_2)\right)\\ &=&0\;\forall\,t>0\end{array}$$

und so sehen wir das

$$A=0$$ $$|\hat{\theta}_1|\,J_1+|\hat{\theta}_2|\,J_2=0$$ $$\arg\hat{\theta}_2 = \pi + \arg\hat{\theta}_1$$

und da haben wir das schon gefunden$-2\,\mathrm{Im}(\hat{\theta}_j)=A$wir wissen es jetzt$\arg\hat{\theta}_1 = 0;\,\arg\hat{\theta}_1 = \pi$und so

$$\theta_1(t) = \alpha\,J_2\,\cos(\omega_0\,t) + B$$ $$\theta_2(t) = -\alpha\,J_1\,\cos(\omega_0\,t) + B$$

wo es bleibt, die gemeinsame reelle Skalierungskonstante zu finden$\alpha$und der Versatz$B$. Aus unseren Anfangsbedingungen erhalten wir aus den obigen Gleichungen:

$$B=\frac{J_1\,\theta_1(0)+J_2\,\theta_2(0)}{J_1+J_2}$$ $$\alpha = \frac{\theta_1(0)-\theta_2(0)}{J_1+J_2}$$

Puh! Wir sind endlich da!