Ein Doppelintegral.

Question

Ein Doppelintegral.

Infinitesimalrechnung
Mathematik
Gamma-Funktion
bestimmte Integrale
uneigentliche Integrale

Amrit Awasthi

Es gibt eine Frage im Lehrbuch meines Bruders, die darum bittet, das folgende Integral durch Änderung der Integrationsreihenfolge zu bewerten:

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{X} X e^{- \frac{X^{3}}{j}} D j D X

$\int \limits_{0}^\infty \int \limits_{0}^x xe^{-\frac{x^3}{y}} \,dy \,dx$ Das Problem hier ist also, dass ich, als ich nach der Änderung der Reihenfolge fortfuhr, die unvollständige Gamma-Funktion verwendet habe, aber mein Bruder weiß nichts davon und sein Buch erwähnt sie auch nicht.
Die Frage ist also, wie man löst, ohne die unvollständige Gammafunktion zu verwenden.

Antworten (1)

Ein Doppelintegral.

Swjatoslaw · Answer 1

Zu lange für einen Kommentar

Ändern der Reihenfolge der Integration

ICH = \int_{0}^{\infty} D j \int_{j}^{\infty} e^{- \frac{X^{3}}{j}} X D X \overset{X = j T}{=} \int_{0}^{\infty} j^{2} D j \int_{1}^{\infty} e^{- j^{2} T^{3}} T D T

$I=\int_0^\infty dy\int_y^\infty e^{-\frac{x^3}{y}} xdx\stackrel{x=yt}{=}\int_0^\infty y^2dy\int_1^\infty e^{-y^2t^3}tdt$ Die Reihenfolge noch einmal ändern und die Substitution vornehmen

y^{2} = x

$y^2=x$

ICH = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} T D T \int_{0}^{\infty} \sqrt{X} e^{- X T^{3}} D X

$I=\frac{1}{2}\int_1^\infty tdt\int_0^\infty \sqrt xe^{-xt^3}dx$ Eine weitere Substitution vornehmen

y = x t^{3}

$y=xt^3$

ICH = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} T D T \int_{0}^{\infty} T^{- \frac{9}{2}} \sqrt{j} e^{- j} D j = \frac{Γ (\frac{3}{2})}{2} \int_{1}^{\infty} T^{- \frac{7}{2}} D T = \frac{Γ (\frac{3}{2})}{2} \frac{2}{5} = \frac{\sqrt{π}}{10}

$I=\frac{1}{2}\int_1^\infty tdt\int_0^\infty t^{-\frac{9}{2}}\sqrt ye^{-y}dy=\frac{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}{2}\int_1^\infty t^{-\frac{7}{2}}dt=\frac{\Gamma\Big(\frac{3}{2}\Big)}{2}\frac{2}{5}=\frac{\sqrt\pi}{10}$

Beachten Sie, dass man für diese Lösung nur die Standard-Gammafunktion kennen muss und nicht die unvollständige.

Ein Doppelintegral.

Amrit Awasthi

Antworten (1)

Swjatoslaw

Gary

Amrit Awasthi

Auswertung dieses Integrals mit der Gamma-Funktion

Ableitungseigenschaft der Gamma-Funktion

Wie löst man dieses Integral in Teilen?

Ist diese integrale Bewertung legitim?

Berechnen Sie das Integral ∫3π/4π/4x⋅cot(x)⋅csc(x)dx∫π/43π/4x⋅cot⁡(x)⋅csc⁡(x)dx\int_{\pi/4}^{3 \pi/4} x \cdot \cot(x) \cdot \csc(x) \mathop{dx}

Welchen Wert hat das folgende bestimmte Integral?

Integral von Exponential innerhalb einer Region

Wie erhält man ∫∞0dx(x2+1)n=(2n−3)!!(2n−2)!!π2=?π√2Γ(n−12)Γ(n)∫0∞dx(x2+1 )n=(2n−3)!!(2n−2)!!π2=?π2Γ(n−12)Γ(n)\int_0^∞\frac{dx}{(x^2+1)^n} =\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\frac{\pi}{2}\overset{?}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\ frac{Γ(n-\frac{1}{2})}{Γ(n)}?

Bestimmtes Integral der modifizierten Bessel-Funktion zweiter Art

Nicht übereinstimmende Ergebnisse mit Fundamental Theorem of Analysis.