Ein zweistufiges System unter dem Ito-Kalkül

Question

Ein zweistufiges System unter dem Ito-Kalkül

Zhuoran He

Ich betrachte die Entwicklung eines zweistufigen Quantensystems, gegeben durch

ich (\begin{matrix} {\dot{C}}_{1} \\ {\dot{C}}_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} E & Δ (T) \\ Δ (T) & - \frac{1}{2} E \end{matrix}) (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \end{matrix}) .

$i\begin{pmatrix}\dot{c}_1\\ \dot{c}_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}E & \Delta(t)\\\Delta(t) & -\frac{1}{2}E\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}.$

Wenn $\,\Delta(t)\,$ periodisch ist, ergibt das Modell Rabi-Oszillationen. Aber jetzt denke ich über die Funktion nach $\,\Delta(t)\,$ um ein echtes Gaußsches weißes Rauschen zu befriedigen

⟨ Δ (T) ⟩ = 0, ⟨ Δ (T) Δ (T^{'}) ⟩ = Γ^{2} δ (T - T^{'}) .

$\langle\Delta(t)\rangle=0,\quad\langle\Delta(t)\Delta(t')\rangle=\Gamma^2\delta(t-t').$

Im Sinne des Standard-Wiener-Prozesses $W_t$ , wird die Schrödinger-Gleichung

\begin{aligned} ich D C_{1} & = \frac{1}{2} E C_{1} D T + Γ C_{2} D W_{T}, \\ ich D C_{2} & = Γ C_{1} D W_{T} - \frac{1}{2} E C_{2} D T, \end{aligned}

$\begin{align} idc_1&=\frac{1}{2}Ec_1dt+\Gamma c_2dW_t,\\ idc_2&=\Gamma c_1dW_t-\frac{1}{2}Ec_2dt, \end{align}$

wo beides $c_1dW_t$ Und $c_2dW_t$ sind im Sinne von Ito, was bedeutet, dass $c_1$ Und $c_2$ sind bei $t$ Und $dW_t$ ist während $[t,t+dt]$ . Ich gehe dann zum Interaktionsbild

{\tilde{C}}_{1} = C_{1} e^{\frac{ich}{2} E T}, {\tilde{C}}_{2} = C_{2} e^{- \frac{ich}{2} E T},

$\tilde{c}_1=c_1e^{\frac{i}{2}Et},\quad\tilde{c}_2=c_2e^{-\frac{i}{2}Et},$

so dass $\tilde{c}_1$ Und $\tilde{c}_2$ entwickeln sich nicht wann $\,\Gamma=0$ . Im Allgemeinen stellen sie zufrieden

\begin{aligned} ich D {\tilde{C}}_{1} & = Γ {\tilde{C}}_{2} e^{ich E T} D W_{T}, \\ ich D {\tilde{C}}_{2} & = Γ {\tilde{C}}_{1} e^{- ich E T} D W_{T} . \end{aligned}

$\begin{align} id\tilde{c}_1&=\Gamma\tilde{c}_2e^{iEt}dW_t,\\ id\tilde{c}_2&=\Gamma\tilde{c}_1e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

Wie gehe ich nun vor, um mich hier auszudrücken $\tilde{c}_1$ Und $\tilde{c}_2$ in Bezug auf ein Integral von $W_t$ ? Ich frage mich auch, ob ich Dekohärenz oder immer noch nur Rabi-Oszillation bekomme, weil das System selektiv Frequenz absorbiert $E\,$ vom Lärm $W_t$ .

Zhuoran He

Das sind keine Hausaufgaben...

Zhuoran He

Bußgeld. Machen Sie es einfacher, damit die Leute es lösen können.

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Ein zweistufiges System unter dem Ito-Kalkül

Bußgeld. Machen Sie es einfacher, damit die Leute es lösen können.

Raskolnikow · Answer 1

Um diese Gleichungen zu lösen

\begin{aligned} ich D {\tilde{C}}_{1} & = Γ {\tilde{C}}_{2} e^{ich E T} D W_{T}, \\ ich D {\tilde{C}}_{2} & = Γ {\tilde{C}}_{1} e^{- ich E T} D W_{T} . \end{aligned}

$\begin{align} id\tilde{c}_1&=\Gamma\tilde{c}_2e^{iEt}dW_t,\\ id\tilde{c}_2&=\Gamma\tilde{c}_1e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

Sehen wir uns an, ob wir ein Paar von Funktionen finden können $F_1(t,x)$ Und $F_2(t,x)$ so dass $\tilde{c}_1=F_1(t,W_t)$ Und $\tilde{c}_2=F_2(t,W_t)$ . Setzen Sie diese in die Formeln ein, die wir haben

\begin{aligned} ich D F_{1} (T, W_{T}) & = Γ F_{2} (T, W_{T}) e^{ich E T} D W_{T}, \\ ich D F_{2} (T, W_{T}) & = Γ F_{1} (T, W_{T}) e^{- ich E T} D W_{T} . \end{aligned}

$\begin{align} idF_1(t,W_t)&=\Gamma F_2(t,W_t) e^{iEt}dW_t,\\ idF_2(t,W_t)&=\Gamma F_1(t,W_t) e^{-iEt}dW_t. \end{align}$

Wir wenden nun den Itô-Kalkül auf die Differentiale an

\begin{aligned} ich [F_{1 T} (T, W_{T}) D T + F_{1 X} (T, W_{T}) D W_{T} + 1 / 2 F_{1 X X} (T, W_{T}) D T] & = Γ F_{2} (T, W_{T}) e^{ich E T} D W_{T}, \\ ich [F_{2 T} (T, W_{T}) D T + F_{2 X} (T, W_{T}) D W_{T} + 1 / 2 F_{2 X X} (T, W_{T}) D T] & = Γ F_{1} (T, W_{T}) e^{- ich E T} D W_{T} . \end{aligned}

$\begin{align} i[F_{1t}(t,W_t)dt+F_{1x}(t,W_t)dW_t+1/2F_{1xx}(t,W_t)dt]&=\Gamma F_2(t,W_t) e^{iEt}dW_t,\\ i[F_{2t}(t,W_t)dt+F_{2x}(t,W_t)dW_t+1/2F_{2xx}(t,W_t)dt]&=\Gamma F_1(t,W_t) e^{-iEt}dW_t.\end{align}$

Dabei sind die Buchstaben in der Indexschreibweise Abkürzungen für partielle Ableitungen bzgl. der entsprechenden Variablen. Wir erhalten daher die folgenden partiellen Differentialgleichungen

\begin{aligned} F_{1 T} (T, X) + 1 / 2 F_{1 X X} (T, X) & = 0, \\ F_{2 T} (T, X) + 1 / 2 F_{2 X X} (T, X) & = 0, \\ ich F_{1 X} (T, X) & = Γ F_{2} (T, X) e^{ich E T}, \\ ich F_{2 X} (T, X) & = Γ F_{1} (T, X) e^{- ich E T} . \end{aligned}

$\begin{align} F_{1t}(t,x)+1/2F_{1xx}(t,x) & = 0, \\ F_{2t}(t,x)+1/2F_{2xx}(t,x) & = 0, \\ iF_{1x}(t,x)& = \Gamma F_2(t,x) e^{iEt},\\ iF_{2x}(t,x)& = \Gamma F_1(t,x) e^{-iEt}. \end{align}$

Nehmen Sie die Ableitung zu $x$ der dritten Gleichung und multiplizieren mit $i$ wir bekommen

- F_{1 X X} (T, X) = Γ ich F_{2 X} (T, X) e^{ich E T} = Γ^{2} F_{1} (T, X)

$-F_{1xx}(t,x) = \Gamma iF_{2x}(t,x) e^{iEt}=\Gamma^2 F_1(t,x)$

wobei ich im letzten Schritt die vierte Gleichung einsetze. Schließlich setzen wir dies in die erste Gleichung ein, die wir erhalten

F_{1 T} (T, X) = \frac{Γ^{2}}{2} F_{1} (T, X)

$F_{1t}(t,x)=\frac{\Gamma^2}{2}F_1(t,x)$

das ist eine einfache lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung in $t$ . Die Lösung ist

F_{1} (T, X) = A (X) e^{Γ^{2} T / 2} .

$F_1(t,x)=A(x)e^{\Gamma^2 t/2} \; .$

Mit $A(x)$ einige Funktion aus den anderen Gleichungen zu bestimmen. Füllen Sie beispielsweise das Ergebnis für $F_1$ in der ersten Formel erhalten wir die folgende Differentialgleichung für $A(x)$ :

A_{X X} (X) + Γ^{2} A (X) = 0

$A_{xx}(x)+\Gamma^2 A(x)=0$

deren Lösungen sind

A (X) = B e^{ich Γ X} + D e^{- ich Γ X}

$A(x)=Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x}$

und somit

F_{1} (T, X) = (B e^{ich Γ X} + D e^{- ich Γ X}) e^{Γ^{2} T / 2}

$F_1(t,x)=(Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x})e^{\Gamma^2 t/2}$

und ebenfalls

F_{2} (T, X) = (- B e^{ich Γ X} + D e^{- ich Γ X}) e^{(Γ^{2} / 2 - ich E) T} .

$F_2(t,x)=(-Be^{i\Gamma x}+De^{-i\Gamma x})e^{(\Gamma^2/2-iE) t} \; .$

Daher

\begin{aligned} {\tilde{C}}_{1} & = (B e^{ich Γ W_{T}} + D e^{- ich Γ W_{T}}) e^{Γ^{2} T / 2}, \\ {\tilde{C}}_{2} & = (- B e^{ich Γ W_{T}} + D e^{- ich Γ W_{T}}) e^{(Γ^{2} / 2 - ich E) T} . \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{c}_1 & =(Be^{i\Gamma W_t}+De^{-i\Gamma W_t})e^{\Gamma^2 t/2} \; , \\ \tilde{c}_2 & =(-Be^{i\Gamma W_t}+De^{-i\Gamma W_t})e^{(\Gamma^2/2-iE) t} \; . \end{align}$

Ich denke, man kann zeigen $|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2=\mathrm{const}$ , also sollten die Wahrscheinlichkeitsamplituden nicht exponentiell wachsen. Aber ich werde die Idee ausprobieren $\tilde{c}_i=F_i(t,W_t), i=1,2$ .
Das fand ich auch seltsam, aber da könnte irgendwo ein Vorzeichenfehler sein. Außerdem ist mir gerade eine Unstimmigkeit in deiner Formulierung aufgefallen, wo die Änderung des Interaktionsbildes eine hat $1/2$ in den Exponenten, aber diese tauchen in Ihren Gleichungen unten nicht auf.
Mir ist ein Fehler in meiner Berechnung aufgefallen. Ich habe ein vergessen $1/2$ Faktor selbst. Ich werde es reparieren.
Eigentlich $\tilde{c}_i=F_i(t,W_t)$ ist eine sehr starke Annahme. Es geht davon aus $\tilde{c}_i$ hängt nicht von früher ab $W_{t'}$ mit $t'<t$ . Wenn Sie Ihre Lösung in die Gleichung einsetzen und feststellen, dass sie tatsächlich funktioniert, dann ist es in Ordnung. Andernfalls sollte die Lösung eine integrale Form haben.
Das ist ein guter Punkt, aber ich glaube nicht, dass es hier darum geht.
Ich habe herausgefunden, was das Problem ist. Da waren wir uns beide so sicher $|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2=\mathrm{const}$ , stimmt aber eigentlich nicht. Mit dem Lemma von Itô kann man das zeigen $d|\tilde{c}_1|^2= \tilde{c}_1^*d\tilde{c}_1+\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*+d\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*=\tilde{c}_1^*d\tilde{c}_1+\tilde{c}_1d\tilde{c}_1^*+\Gamma^2|\tilde{c}_2|^2dt$ und ebenso für $d|\tilde{c}_2|^2$ . Das wird geben $d(|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2)=\Gamma^2(|\tilde{c}_1|^2+|\tilde{c}_2|^2)dt$ was mit meiner Antwort übereinstimmt.
Danke. Das ist mir auch klar geworden. Der Schrödinger-Gleichung fehlt die $dt^2$ Laufzeit von $\exp(-iH(\Delta)dt)$ Weil $\Delta\sim\mathcal{O}(dt^{-1/2})$ . Dann bleibt der Zustand normalisiert.
Dekohärenz geschieht im Ensemble-Sinne. Für jede einzelne zufällige Trajektorie ist die Spin- $1/2$ Der reine Zustand bleibt ein reiner Zustand unter einheitlichen Evolutionen. Da das Rauschen jedoch unbekannt ist, ist der Endzustand eine zufällige Mischung vieler Möglichkeiten, wodurch die Kohärenz verloren geht. Der beste Formalismus zur Handhabung der zufälligen Mischung ist die Verwendung von Lindblad-Operatoren. Schließlich entwickelt sich die Dichtematrix in den inkohärenten Zustand $\frac{1}{2}(\left|\uparrow\right>\left<\uparrow\right|+\left|\downarrow\right>\left<\downarrow\right|)$ .

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