Eindeutigkeit der Äquivalenzklasse von Trägheitsrahmen

Was folgt, ist eine Version der Aussage, die Sie beweisen möchten, die davon ausgeht, dass zwei beliebige Frames durch eine Raum-Zeit-Transformation miteinander verbunden sind, die die Zeit bis zur Translation unveränderlich lässt und die euklidischen Abstände beibehält. Aufgrund dieser Hypothesen ist die folgende Aussage eine Newtonsche Antwort auf die Frage. Ich bin jedoch zuversichtlich, dass eine ähnliche speziell-relativistische Antwort konstruiert werden kann.

Der folgende Satz besagt im Wesentlichen, dass, wenn auch nur Newtons erstes Gesetz bei der Transformation zwischen Freunden erhalten bleiben muss, die Frames durch eine Galilei-Transformation in Beziehung stehen müssen, also müssen sie in derselben Äquivalenzklasse sein.

Satz. Sei eine zweimal differenzierbare, orientierungserhaltende, zeitabhängige euklidische Isometrie$T:\mathbb R\to \mathrm{ISO}(3)$gegeben werden und lassen$t_0$eine reelle Zahl sein. Wenn die Raumzeittransformation

$$\begin{align} G(t,\mathbf x) = (t+t_0, T(t)(\mathbf x)) \end{align}$$ bewahrt dann Newtons erstes Gesetz $G$ist Galiläisch.

Nachweisen. $T(t)$kann als zeitabhängige Rotation plus zeitabhängige Translation geschrieben werden:

$$\begin{align} T(t)(\mathbf x) = R(t)\mathbf x + \mathbf c(t). \end{align}$$ Daher unter der Wirkung von $G$, eine gerade Linie $\mathbf x_0 + t\mathbf v_0$wird in die folgende Kurve abgebildet: $$\begin{align} R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t) \end{align}$$ Wenn $G$behält Newtons erstes Gesetz bei, dann muss diese transformierte Kurve eine Nullbeschleunigung haben, egal welche $\mathbf x_0$Und $\mathbf v_0$wir wählen. Daher, $$\begin{align} \frac{d^2}{dt^2} \big[R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t)\big] = \mathbf 0, \end{align}$$ für alle $\mathbf x_0,\mathbf v_0\in\mathbb R^3$. Die Verteilung der Ableitungen auf der linken Seite ergibt $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 + \ddot{\mathbf c}(t) = \mathbf 0 \end{align}$$ Wählen $\mathbf x_0 = \mathbf v_0 = \mathbf 0$gibt $\ddot{\mathbf c}(t) = 0$was impliziert, dass es konstante Vektoren gibt $\mathbf c$Und $\mathbf v$so dass $\mathbf c(t) = \mathbf c + t \mathbf v$. Wenn Sie dies verwenden, erhalten Sie die reduzierte Einschränkung $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 = \mathbf 0. \end{align}$$ Jetzt pflücken $\mathbf v_0 = \mathbf 0$gibt $\ddot R(t) \mathbf x_0 = \mathbf 0$für alle $\mathbf x_0$, und das wiederum bedeutet das $\ddot R(t) = 0$. Mit dieser weiter reduziert zu $$\begin{align} \dot R(t)\mathbf v_0 = \mathbf 0 \end{align}$$ für alle $\mathbf v_0$, und das impliziert das $\dot R(t) = 0$. Das bedeutet, dass es eine ständige Rotation gibt $R$so dass $R(t) = R$. Wenn wir dies alles zusammenfassen, finden wir das unsere ursprüngliche Isometrie $T(t)$nimmt folgende Form an: $$\begin{align} T(t) = R\mathbf x + \mathbf c + t\mathbf v \end{align}$$ und daher $G$ist Galileisch, besteht nämlich nur aus einer zeitlichen Translation, einer konstanten räumlichen Translation, einem Galileischen Schub durch konstante Geschwindigkeit und einer konstanten Rotation. $\blacksquare$.

Betrachten Sie Zeitumkehr- oder Paritätstransformationen.

Da einige Physiker diese Symmetrie nicht haben, gibt es separate, nicht gleichwertige Klassen von Trägheitsrahmen.

In jeder Klasse erscheint die Physik gleich, und Sie können in derselben Klasse von einem Trägheitskoordinatensystem in ein anderes drehen, verschieben oder verstärken. Aber die Physik wird im Vergleich zu der anderen Klasse von Trägheitsrahmen anders erscheinen.