Trägheitsrahmen in der Newtonschen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie

In der Literatur habe ich folgende Definition eines Inertialsystems gesehen:

Ein System wird als inertial bezeichnet, wenn sich ein materieller Punkt, der mit keinen anderen Körpern oder Feldern wechselwirkt, mit konstanter Geschwindigkeit in einer geraden Linie in Bezug auf dieses System bewegt.

Es wird behauptet, dass, wenn sich ein anderer Rahmen in Bezug auf einen Trägheitsrahmen gleichförmig bewegt, er auch träge ist .

In der Newtonschen Mechanik lässt sich das leicht mit den Galileo-Transformationen beweisen.

Gibt es einen direkteren allgemeinen Weg, dies ohne Berechnungen zu sehen, so dass es gleichzeitig sowohl in der Newtonschen Mechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie funktionieren würde?

Natürlich kann die obige Schlussfolgerung in ähnlicher Weise unter Verwendung der Lorentz-Transformationen erhalten werden. In Kursen zur Speziellen Relativitätstheorie werden die Lorentz-Transformationen jedoch normalerweise umgekehrt abgeleitet. Das Argument basiert (unter anderem) auf den folgenden zwei Annahmen: (1) in jedem Inertialsystem ist die Lichtgeschwindigkeit gleich; (2) Wenn sich ein Rahmen in Bezug auf einen Trägheitsrahmen gleichförmig bewegt, dann ist er Trägheit.

Die zweite Annahme steht im Mittelpunkt meiner Frage.

Antworten (1)

Gibt es einen direkteren allgemeinen Weg, um dies ohne Berechnungen zu sehen (wenn sich ein anderer Rahmen in Bezug auf einen Trägheitsrahmen gleichmäßig bewegt, dann ist er auch inertial), so dass er gleichzeitig sowohl in der klassischen Mechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie funktionieren würde?

Ja, aber es erfordert ein wenig Setup und Vokabular. Erstens, sowohl für die klassische Mechanik als auch für die Relativitätstheorie, eine Raumzeit unter Verwendung von drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension aufstellen. Beachten Sie, dass ein Inertialsystem dann eines ist, in dem kräftefreie Objekte in der Raumzeit gerade Linien bilden.

Wenn wir nun zwei Inertialsysteme haben, dann haben wir die Anforderung, dass alle geraden Linien in einem System auf gerade Linien im anderen abgebildet werden müssen. Die Klasse von Transformationen, die dies tut, wird affine Transformationen genannt.

Beachten Sie schließlich, dass, wenn sich ein Rahmen in Bezug auf einen anderen gleichmäßig bewegt, die Zeitachse eines Rahmens in Bezug auf den anderen geneigt ist. Dies kann mit einer Schertransformation geschehen, die Quadrate auf Rauten abbildet. Sie können sich das vorstellen, als würden Sie ein Kartenspiel nehmen und es so verschieben, dass die Karten flach bleiben, aber der Kartenstapel als Ganzes geneigt ist. Schertransformationen sind affine Transformationen.

Wenn Sie also das Obige kombinieren, wenn Sie mit einem Trägheitsrahmen beginnen, ist ein Rahmen, der sich relativ dazu gleichmäßig bewegt, ebenfalls träge, da die gleichmäßige Bewegung eine Schertransformation ist, die eine affine Transformation ist, die gerade Linien beibehält, die (für freie Objekte) einen Trägheitsrahmen definieren.

Warum werden gerade Linien in einem Inertialsystem auf gerade Linien in einem anderen abgebildet?
@MKO In einem Trägheitsrahmen bewegt sich jeder materielle Punkt, der mit keinen anderen Körpern oder Feldern interagiert, mit konstanter Geschwindigkeit in einer geraden Linie in Bezug auf diesen Rahmen, also ist es eine gerade Linie in der Raumzeit. Wenn der erste Rahmen träge ist und eine gerade Linie im ersten Rahmen auf eine gekrümmte Linie im zweiten Rahmen abgebildet wird, dann ist der zweite Rahmen nicht träge, weil er einen nicht wechselwirkenden Körper hat, der nicht in einer geraden Linie verläuft. Eine Transformation zwischen Trägheitsrahmen muss also gerade Linien auf gerade Linien abbilden
Sie haben in Ihrem letzten Kommentar gezeigt, dass die Transformation zwischen zwei Trägheitsrahmen affin ist. Die Frage war jedoch, warum die Transformation von einem Inertialsystem in ein sich gleichförmig dazu bewegendes System ebenfalls affin ist. Da wir nicht wissen, dass das zweite System inertial ist (wir wollen es schließlich beweisen!), wissen wir, wie sich ein freier Körper relativ dazu bewegt.
@MKO "warum die Transformation von einem Trägheitsrahmen in einen Rahmen, der sich gleichmäßig in Bezug darauf bewegt, auch affin ist": weil ein Rahmen, der sich gleichmäßig bewegt, eine Schertransformation ist und Schertransformationen affin sind, wie in der Antwort erläutert. Z.B ( T , X ) → ( T , X + v T ) ist eine Scherung, die affin ist
" ... ein sich gleichmäßig bewegender Rahmen ist eine Schertransformation ... ". Warum? Sowohl in nicht-relativistischen als auch in relativistischen Fällen sind dies zwei verschiedene Transformationen. Was ist der gemeinsame Grund dafür, dass es in beiden Fällen eine Schertransformation sein muss?
@MKO das ist mehr Aufwand als es für 0 Ruf wert ist. Danach bin ich fertig. „Gleichmäßig bewegen“ bedeutet, dass sich alles jede Sekunde um den gleichen Betrag in die gleiche Richtung verschiebt. Das ist Schere. Ja, die Transformationen sind unterschiedlich, da es sich bei der Galileischen Transformation um reine Scherung und bei der Lorentz-Transformation um Scherung plus Rotation (Relativität der Gleichzeitigkeit) handelt, aber die „gleichförmige Bewegung“ bezieht sich auf den Scherungsanteil. Ich bin fertig. Stimmen Sie ab oder nicht, wie Sie möchten. Ich habe eine gute Antwort auf eine schwierige Frage gegeben. Es tut mir leid, dass Ihnen die Terminologie nicht vertraut ist, aber ich habe mein Bestes getan. Viel Erfolg beim Studium!
Trägheitsrahmen in der Newtonschen Mechanik und der speziellen Relativitätstheorie
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