Eine Frage zu einem U(1)B−LU(1)B−LU(1)_{BL}

Ich finde keinen Hinweis auf$U(1)_{B-L}$im genannten Buch. Der$L$bezieht sich hier auf die Leptonenzahl, und es ist verdächtig, dass dies in einem Buch über QCD vorkommen sollte.

Abgesehen davon, welche Symmetrien hat die QCD-Lagrange-Funktion? Für den Fall, dass wir haben$N$Flavors von masselosem Quark sind wir frei, die linkshändigen Quarks untereinander (im Flavour-Raum) und die rechtshändigen Quarks untereinander unabhängig voneinander zu rotieren . Dies führt zur globalen Symmetrie:

$$U(N) \times U(N)$$

Auf der Ebene der Algebra lässt sich diese Symmetrie auch schreiben

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_L \times U(1)_R$$

wobei die Indizes angeben, ob die Symmetrie auf die links- oder rechtshändigen Quarks wirkt. Anstatt unabhängig voneinander nach links oder rechts zu rotieren, kann es manchmal sinnvoll sein, eine Rephasierung nach links und rechts um den gleichen Betrag oder eine Rephasierung um entgegengesetzte Beträge in Betracht zu ziehen . Diese werden als Vektor- bzw. Achsensymmetrien bezeichnet. Man kann zeigen, dass jede Rephasierung von gerade links oder gerade rechts durch eine Kombination von axialen und vektoriellen Rephasierungen erreicht werden kann. So

$$U(1)_L \times U(1)_R = U(1)_V \times U(1)_A$$

Nun zur Pointe. In der Quantentheorie die Achsensymmetrie$U(1)_A$ist anomal . Dies bedeutet, dass es quantenmechanisch keine Symmetrie ist, obwohl es sich klassisch um eine Symmetrie handelt. Die Symmetriegruppe der masselosen QCD als Quantentheorie lautet also:

$$SU(N)_L \times SU(N)_R \times U(1)_V$$

Man kann überprüfen, dass eine gleichzeitige Rephasierung aller Quark-Flavours und Chiralitäten um den gleichen Betrag genau die Symmetrie ist, die der Baryonenzahl entspricht. So können wir auch schreiben$U(1)_V = U(1)_B$. Dies ist fast das Ende der Geschichte, aber wir haben noch nicht erklärt, warum$U(1)_{B-L}$sollte erscheinen. Es stellt sich heraus, dass, wenn wir QCD in das Standardmodell einbetten und die Quarks an die schwachen und hypergeladenen Eichbosonen sowie das Gluon koppeln,$U(1)_B$ist auch anomal . Dasselbe gilt für$U(1)_L$, die Symmetrie, die der gleichzeitigen Rephasierung aller Leptonen um denselben Betrag entspricht. Nur$U(1)$globale Symmetrie, die in der Quantentheorie des Standardmodells überlebt, ist$B - L$, die Symmetrie entspricht der Drehung aller Quarks um den gleichen Betrag und aller Leptonen um den entgegengesetzten Betrag.

Ich habe das ganze Buch durchsucht und keine einzige Instanz von "$U(1)_{B-L}$", daher wäre eine Seitenzahlangabe hilfreich. Aber für die Zwecke der reinen QCD,$U(1)_V$ist das gleiche wie$U(1)_B$, weil alle Quarks die gleiche Baryonenzahl tragen, und das ist dasselbe wie$U(1)_{B-L}$da nichts die Leptonenzahl trägt.

Vielleicht schreibt man lieber$U(1)_{B-L}$statt$U(1)_V$wenn man den Rest des Standardmodells im Auge hat. Wenn Sie die anderen Messgerätefelder des Standardmodells einbeziehen, stellt sich heraus, dass dies der Fall ist$U(1)_V$ist anomal, und$U(1)_L$ist auch anomal; die einzigartige nicht-anomale Kombination ist$U(1)_{B-L}$. Das ist schön, denn es gibt uns eine absolut erhaltene Größe sowie eine messbare Symmetrie.

Das erklärt es immer noch nicht vollständig, denn wenn sie nur Symmetrien aufschreiben wollten, die im SM nicht anomal waren, hätten sie es nicht aufschreiben sollen$SU(3)_L \times SU(3)_R$auch nicht, da auch diese Symmetrie anomal ist. Ich vermute, sie schrieben nur aus Gewohnheit, ohne zu genau zu schauen, was sie taten.