Viele Quellen können Ihnen sagen, dass der Weg einer Flugbahn eine Parabel ist . Tatsächlich unterstützen alle mathematischen Formeln und Berechnungen, die sich mit den Flugbahnen von fallenden, geworfenen oder geschleuderten Objekten befassen, diese Interpretation. Aber wenn es um Erdsatelliten und ballistische Raketen geht, ist die Wahrheit, dass ihre Umlaufbahnen Teile von Ellipsen sind .

Die Kanone des Newton auf einem Berg

Newtons Kanonenkugel war ein Gedankenexperiment von Isaac Newton, mit dem er die Hypothese aufstellte, dass die Schwerkraft universell und die Schlüsselkraft für die Planetenbewegung sei.

Hier ist eine interaktive Version davon: Newtons Kanone auf einem Berg

Wenn ein Objekt weniger als Fluchtgeschwindigkeit hat (für die Erde sind es 11,2 km/s ), ist seine Bahn eine Ellipse . Wenn das Objekt eine Geschwindigkeit gleich der Fluchtgeschwindigkeit hat, hat es eine parabelförmige Flugbahn. Ist sie größer als die Fluchtgeschwindigkeit, ist sie hyperbolisch .

Wenn wir ein Objekt werfen, ist der tatsächliche Weg des Objekts normalerweise Teil einer größeren Ellipse, wie das folgende Bild zeigt, aber da die Geschwindigkeit nicht ausreicht, trifft das Objekt auf den Boden, bevor es einen vollständigen elliptischen Weg zurücklegt, der wie eine Parabel aussieht

Die Parabelbahnen werden flacher und flacher, je schneller die Kanone abgefeuert wird. Newton stellte sich vor, dass der Berg so hoch war, dass der Luftwiderstand ignoriert werden konnte, und die Kanone ausreichend stark war.

PS: Newtons Berg war unglaublich hoch, aber er erkannte, dass die kreisförmige Bahn des Mondes um die Erde durch dieselbe Gravitationskraft verursacht werden könnte, die Kanonenkugeln in ihre Umlaufbahn zieht, mit anderen Worten, dieselbe Kraft, die Objekte fallen lässt.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet, dass der Weg des Fußballs wirklich "elliptisch" ist, da seine Geschwindigkeit viel geringer ist als die Fluchtgeschwindigkeit. Aber für uns "nähern wir seinen Weg einer Parabel an".

UPDATE: Mathematische Antwort auf Ihre Frage.

Wir können Gleichungen der Projektilbewegung wie folgt verwenden.

Gleichung für die Flugbahn einer Projektilbewegung:

$\displaystyle y= x\tan\theta -{\frac{g}{2u^2\cos^2\theta}}x^2$

(Ja, es ist eine Parabelgleichung, aber ich habe bereits erwähnt, dass die mathematischen Formeln und Berechnungen, die sich mit Objektbahnen befassen, einer Parabel angenähert werden.)

Jetzt von Ihrer Frage können wir Situationen haben:

FALL-1: Wenn das Objekt in einem Winkel geneigt geworfen wird$\theta_1$mit einer Geschwindigkeit$u$

Dann ist die maximale Höhe, die das Objekt erreichen wird, gegeben durch:

$\displaystyle h=\frac{u^2\sin^2\theta_1}{2g}$

Wenn jetzt$\theta_1= 30^\circ$und Anfangsgeschwindigkeit$u= 100\ \mathrm{m/s}$(nur zur Überlegung)

Dann ist die maximale Höhe, die das Objekt erreicht, gleich:

$h= 127.55$Meter

Wenn wir nun den gleichen Winkel und die gleiche Geschwindigkeit verwenden, wenn wir die maximal zurückgelegte Entfernung (genannt Reichweite des Projektils) berechnen, die wir haben

$\displaystyle R_\text{max}=\frac{u^2\sin2\theta_1}{g}$

Jetzt durch Einstecken der Werte haben wir$R=883.69$Meter

FALL-2: Wenn das Objekt in einem höheren Winkel als zuvor, aber mit der gleichen Geschwindigkeit geworfen wird.

Sagen Sie jetzt den Winkel$\theta_2=60^\circ$(höherer Winkel als zuvor) und$u=100\ \mathrm{m/s}$

Dann verwenden wir dieselbe Gleichung, die wir zuvor verwendet haben

$h= 382.65$Meter und$R= 441.83$Meter

ERGEBNIS:

Wir können deutlich sehen, dass die maximale Höhe in Fall-1 kleiner ist als die von Fall-2 und die maximale Reichweite in Fall-1 höher ist als die von Fall-2

Das bedeutet, dass der Weg in Fall 1 weniger hoch und weiter ist. Aber der Pfad in Fall-2 ist höher und weniger weit. Weitere Erläuterungen finden Sie im folgenden Bild.

(Sorry für die funky Farben :P)

Bildquelle: http://www.faculty.virginia.edu/rwoclass/astr1210/guide08.html ; https://www.lhup.edu/~dsimanek/scenario/secrets.htm .

Um ein wenig auf unseren Kommentaren aufzubauen, meinst du, dass du erwartest, dass die Flugbahn am Ende eine andere Form hat als am Anfang? Dies ist wiederum nur mit Reibung möglich. Wenn keine Reibung vorhanden ist, lautet Ihre Newtonsche Bewegungsgleichung

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g}$

und ist invariant unter der Transformation$t \mapsto -t$(es soll Zeitumkehrsymmetrie haben ). Die praktische Konsequenz ist, dass Ihre Flugbahn eine Symmetrieachse haben muss: Der Fußball kann sich beim Aufwärtsfliegen nicht anders bewegen als beim Abwärtsfallen, da sich jede dieser Bewegungen durch die Zeitumkehrtransformation abbildet.

Wenn Sie jedoch einen Reibungsbegriff wie hinzufügen

$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = m \vec{g} - k \frac{d \vec{r}}{dt}$

(mit$k >0$)

dann brechen Sie die Zeitumkehrsymmetrie, weil$\vec{v}$wird$- \vec{v}$unter dieser Verwandlung. Wie @leftaroundabout betonte, benötigen Sie daher einen Reibungsterm, um die in Ihrer Frage beschriebene Flugbahnverzerrung zu erhalten.