Einfache Frage zur Fehlerfortpflanzung/Unsicherheit

Question

Einfache Frage zur Fehlerfortpflanzung/Unsicherheit

Dwagg

Ich stecke bei einer scheinbar einfachen Frage zur Fehlerfortpflanzung fest. Angenommen, wir messen wiederholt die Geschwindigkeit eines Teilchens und schätzen die Unsicherheit der gemessenen Geschwindigkeit auf 10 Prozent. Wie groß ist die Unsicherheit in der kinetischen Energie des Teilchens? (Massenunsicherheit ist vernachlässigbar.)

(Dies war eine GRE-Übungsfrage für Physik. Die Antwort lautet 20 Prozent.)

Die mir bekannte Formel zur Fehlerfortpflanzung lautet z $f = AB$ ,

{(\frac{σ_{F}}{F})}^{2} = {(\frac{σ_{A}}{A})}^{2} + {(\frac{σ_{B}}{B})}^{2} .

$\left( \frac{\sigma_f}{f}\right)^2 = \left( \frac{\sigma_A}{A}\right)^2 + \left( \frac{\sigma_B}{B}\right)^2 .$

Also, wenn ich richtig liege, ist diese Unsicherheit definiert $\left( \frac{\sigma_f}{f}\right)$ , es folgt dem

Δ K E = \sqrt{2} Δ v

$\Delta KE = \sqrt{2} \Delta v$

Wo $\Delta KE$ ist die Unsicherheit in der kinetischen Energie und $\Delta v$ ist Unsicherheit in der Geschwindigkeit. Aber das gibt $14$ Prozent. Könnte jemand auf meinen Fehler hinweisen?

J. Murray

Das stimmt nur, wenn

A

$A$ Und

B

$B$ sind unkorreliert. Vermutlich lassen Sie

A

$A$ Und

B

$B$ beide repräsentieren Geschwindigkeit, in diesem Fall sind sie perfekt korreliert.

Antworten (2)

Einfache Frage zur Fehlerfortpflanzung/Unsicherheit

Das stimmt nur, wenn $A$ Und $B$ sind unkorreliert. Vermutlich lassen Sie $A$ Und $B$ beide repräsentieren Geschwindigkeit, in diesem Fall sind sie perfekt korreliert.

J. Murray · Answer 1

Um meinen Kommentar zu erweitern, gilt Ihre Gleichung nur, wenn $A$ Und $B$ sind unkorreliert. Allgemeiner, wenn $F$ ist eine Funktion unkorrelierter Variablen $A$ Und $B$ , Dann

(δ F)^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial A} δ A)}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial B} δ B)}^{2}

$(\delta F)^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial A}\delta A\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial B} \delta B\right)^2$

Wenn Sie einstecken $F=AB$ , dann findest du das

{(δ F)}^{2} = (B \cdot δ A)^{2} + (A \cdot δ B)^{2}

$\left(\delta F\right)^2 = (B\cdot \delta A)^2 + (A \cdot \delta B)^2$ oder

{(\frac{δ F}{F})}^{2} = {(\frac{δ A}{A})}^{2} + {(\frac{δ B}{B})}^{2}

$\left(\frac{\delta F}{F}\right)^2 = \left(\frac{\delta A}{A}\right)^2 + \left(\frac{\delta B}{B}\right)^2$

In Ihrem Fall, $A$ Und $B$ sind gleich, also das genaue Gegenteil von unkorreliert. In Ihrem Fall wäre es angebracht, darüber nachzudenken $F$ eine Funktion einer einzelnen Variablen sein, und einfach lassen

δ F = | \frac{\partial F}{\partial A} | δ A

$\delta F = \left|\frac{\partial F}{\partial A}\right| \delta A$

\frac{δ F}{F} = | \frac{1}{F} \frac{\partial F}{\partial A} | δ A

$\frac{\delta F}{F} = \left|\frac{1}{F}\frac{\partial F}{\partial A}\right| \delta A$

Um die Frage auf einer tieferen Ebene zu beantworten, modellieren wir experimentell gemessene Größen als kontinuierliche Zufallsvariablen, wobei unsere experimentellen Unsicherheiten ihren Standardabweichungen entsprechen.

Lassen $X$ eine Zufallsvariable mit Erwartungswert sein $\mathbb{E}[X]=\mu_X$ und Varianz $Var(X)\equiv \mathbb{E}\big[ (X-\mu_X)^2\big]=\sigma_X^2$ , und lass $g$ eine Funktion sein von $X$ . Wir können expandieren $g$ in einer Taylor-Reihe herum $\mu_X$ :

G (X) = G (μ_{X}) + G^{'} (μ_{X}) \cdot (X - μ_{X}) + \frac{1}{2} G^{″} (μ_{X}) (X - μ_{X})^{2} + \dots

$g(X) = g(\mu_x) + g'(\mu_X)\cdot (X-\mu_X) + \frac{1}{2}g''(\mu_X) (X-\mu_X)^2 + \ldots$

Abschneiden nach dem linearen Term schreiben wir

G (X) = G (μ_{X}) + G^{'} (μ_{X}) \cdot (X - μ_{X})

$g(x) = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\cdot (X-\mu_X)$

Wir können jetzt den Mittelwert und die Varianz von berechnen $g$ :

E [G (X)] = G (μ_{X}) + G^{'} (μ_{X}) E [X - μ_{X}] = G (μ_{X}) + G^{'} (μ_{X}) \cdot (μ_{X} - μ_{X}) = G (μ_{X})

$\mathbb{E}[g(X)] = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\mathbb{E}[X-\mu_X] = g(\mu_X) + g'(\mu_X)\cdot (\mu_X-\mu_X) = g(\mu_X)$

v A R (G (X)) = E [(G (X) - G (μ_{X}))^{2}] = (G^{'} (μ_{X}))^{2} \cdot E [(X - μ_{X})^{2}] = {(\frac{D G}{D X} \cdot σ_{X})}^{2}

$Var(g(X)) = \mathbb{E}\big[\big(g(X)-g(\mu_X)\big)^2\big] = \big(g'(\mu_X)\big)^2 \cdot \mathbb{E}\big[(X-\mu_X)^2\big] = \left(\frac{dg}{dX}\cdot \sigma_X\right)^2$

Hier kommt die Fehlerfortpflanzungsformel mit einer Variablen her. Aber betrachten Sie jetzt eine Funktion $F$ von zwei Variablen $X$ Und $Y$ , mit entsprechenden Mitteln $\mu_X,\mu_Y$ und Abweichungen $\sigma_X^2,\sigma_Y^2$ , und Kovarianz

C Ö v (X, Y) = E [(X - μ_{X}) \cdot (Y - μ_{Y})]

$Cov(X,Y) = \mathbb{E}\big[(X-\mu_X)\cdot(Y-\mu_Y)\big]$

Wir Taylor erweitern $F$ in linearer Reihenfolge:

F (X, Y) = F (μ_{X}, μ_{Y}) + \frac{\partial F}{\partial X} (X - μ_{X}) + \frac{\partial F}{\partial Y} (Y - μ_{Y})

$F(X,Y) = F(\mu_X,\mu_Y) + \frac{\partial F}{\partial X}(X-\mu_X) + \frac{\partial F}{\partial Y} (Y-\mu_Y)$

Wiederholen der früheren Schritte, das Mittel von $F$ Ist

E [F (X, Y)] = F (μ_{X}, μ_{Y})

$\mathbb{E}\big[F(X,Y)\big] = F(\mu_X,\mu_Y)$

Die Varianz entwickelt jedoch eine leichte Subtilität. Beachte das

{(F (X, Y) - F (μ_{X}, μ_{Y}))}^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial X})}^{2} (X - μ_{X})^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial Y})}^{2} (Y - μ_{Y})^{2} + 2 \frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} (X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})

$\left(F(X,Y)-F(\mu_X,\mu_Y)\right)^2 = \left(\frac{\partial F}{\partial X}\right)^2(X-\mu_X)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\right)^2(Y-\mu_Y)^2 + 2\frac{\partial F}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)$

Es folgt dem

v A R (F (X, Y)) = {(\frac{\partial F}{\partial X} σ_{X})}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial Y} σ_{Y})}^{2} + 2 \frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} C Ö v (X, Y)

$Var\big(F(X,Y)\big) = \left(\frac{\partial F}{\partial X} \sigma_X\right)^2 + \left(\frac{\partial F}{\partial Y}\sigma_Y\right)^2 + 2\frac{\partial F}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y} Cov(X,Y)$

Wenn $X$ Und $Y$ sind dann unkorreliert $Cov(X,Y)=0$ , und so erhalten wir wieder unsere schöne einfache Formel. Wie auch immer, wenn $Cov(X,Y)\neq 0$ , müssen wir berücksichtigen.

rauben · Answer 2

Ihre Regel funktioniert für die Multiplikation und Division unabhängiger Unsicherheiten, die nicht zu interessanten Potenzen erhoben werden. Die allgemeinere Regel ist

(D F)^{2} = {(\frac{\partial F}{\partial A} D A)}^{2} + {(\frac{\partial F}{\partial B} D B)}^{2} + \dots

$(\mathrm d f)^2 = \left( \frac{\partial f}{\partial A} \mathrm dA \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial B} \mathrm dB \right)^2 + \cdots$

Wenn die Terme in der Summe linear und nicht quadratisch addiert wären, wäre dies nur die Gesamtableitung von $f$ ; Das Hinzufügen der Quadratur berücksichtigt die Tatsache, dass nicht korrelierte Fehler wahrscheinlich nicht alle in die gleiche Richtung beitragen.

Sie haben, mit der üblichen kinetischen Energie $K=\frac12 mv^2$ ,

\begin{aligned} (D K)^{2} & = {(\frac{\partial K}{\partial v} D v)}^{2} + {unerheblich}^{2} \\ D K & = M v D v = \frac{2 K}{v} D v \\ \frac{D K}{K} & = 2 \frac{D v}{v} \end{aligned}

$\begin{align} (\mathrm dK)^2 &= \left( \frac{\partial K}{\partial v} \mathrm dv \right)^2 + \text{negligible}^2 \\ \mathrm dK &= mv\ \mathrm dv = \frac{2K}{v} \mathrm dv \\ \frac{\mathrm dK}{K} &= 2\frac{\mathrm dv}{v} \end{align}$

Der Faktor zwei entsteht, weil $v$ ist quadratisch.

Warum hast du nebensächlich geschrieben? Ich sehe, dass es keinen B-Term gibt, also haben Sie, anstatt Null zu schreiben, vernachlässigbar geschrieben. Können Sie diesen Teil bitte näher erläutern?
Es gibt einen „B“-Begriff: die Masse. Sie sagten, die Unsicherheit in der Masse sei vernachlässigbar. Der Antwortende folgt also Ihrer Führung.

Einfache Frage zur Fehlerfortpflanzung/Unsicherheit

Dwagg

J. Murray

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J. Murray

rauben

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