Einfacher Beweis basierend auf Ungleichungen [geschlossen]

Question

Todeschampion

Im rechten Winkel $\triangle ABC$ , die bei rechtwinklig ist $C$ , Beweise das $a^n + b^n < c^n$ für alle $n > 2$ .

Ich kann dies für Potenzen von 2 als beweisen $a^2 + b^2 = c^2$

(A^{2} + B^{2})^{N} > (A^{2})^{N} + (B^{2})^{N}

$(a^2 + b^2)^n > (a^2)^n + (b^2)^n$ Aber wie kann man beweisen, dass es für alle gilt

n

$n$ int

Versuchen Sie, durch zu teilen

c^{2}

$c^2$ . Verwenden Sie dann trigonometrische Funktionen.

Versuchen Sie, durch zu teilen $c^2$ . Verwenden Sie dann trigonometrische Funktionen.

Mama · Answer 1

Als $0<\frac{a}{c}<1$ Und $0<\frac{b}{c}<1$ , man hat für $n>2$ :

{(\frac{A}{C})}^{N} + {(\frac{B}{C})}^{N} < {(\frac{A}{C})}^{2} + {(\frac{B}{C})}^{2} = 1

$\left(\frac{a}{c}\right)^n+\left(\frac{b}{c}\right)^n<\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2=1$