Einige Fragen zum "Kontext" in der mathematischen Logik

Nur als zusätzliche Information: Barwise arbeitete ein oder zwei Jahrzehnte lang an der Analyse der Situation (die dem, was Sie "Kontext" nennen, sehr ähnlich zu sein scheint) in Logik. Er schlug Änderungen an den Hauptansätzen der Logik vor, die die „Situation“ einbeziehen sollten. Zu welchen Entwicklungen sein Studium danach geführt hat, weiß ich leider nicht. Sie können seinen Haupttext dazu lesen, der eine Teilsammlung von Papieren ist. Sehr angenehme Lektüre:

J. Barwise: Die Situation in der Logik (CSLI 1988).

Nach einer langen Diskussion mit dem Autor der Frage werde ich diese Antwort in zwei Teile aufteilen. Der erste Teil befasst sich mit den Antworten auf die drei Fragen, die im Fragetext gestellt werden. Der zweite Teil befasst sich mit der Antwort auf den Titel der Frage, die lautet: "Ignoriert die mathematische Logik den Kontext vollständig?"

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In Bezug auf die erste Frage, die fragt (Paraphrasierung basierend auf unserem Gespräch): „Um zu antworten ‚Ignoriert die mathematische Logik den Kontext vollständig?', brauchen wir eine Definition von ‚Kontext in natürlichen deduktiven Systemen'?“ Die Antwort zu dieser Frage ist ja, wir brauchen eine Definition des Kontextes, bevor wir fragen können, ob die mathematische Logik den Kontext ignoriert.

In Bezug auf die zweite Frage, die fragt (Paraphrasierung basierend auf unserem Gespräch): „Wenn die Antwort auf (1) ja ist, dann entspricht das, was wir mit „Kontext natürlicher deduktiver Systeme“ meinen, dem „Kontext von Aussagen in der englischen Sprache? Andernfalls erfasst die Logik nicht, was menschliches Denken ist.“ Die Antwort auf diese Frage lautet ja, aber es ist ein subtiles Ja, und es gilt nur, wenn wir die Formeln unseres logischen Systems auf Englisch ausdrücken. Wenn wir eine deklarative Aussage machen Im Englischen stellen wir eine Art Tatsachenbehauptung dar. Dies kann sich jedoch auf viele verschiedene Kontexte beziehen. Dies könnte im Kontext der realen Welt sein, es könnte im Kontext einer fiktiven Welt aus einem Film oder einem Buch stehen, oder es könnte sich auf eine hypothetische alternative Geschichte beziehen. Dies zeigt also deutlich, dass manchmal Aussagen auf Englisch wahr sind und manchmal nicht, je nachdem, in welchen Kontext wir sie stellen. Wenn wir sagen "er hat den Butler erschossen" und wir uns auf einen Film beziehen, in dem eine Figur einen Butler erschießt, dann diese aussage ist richtig. Wenn wir uns jedoch auf die reale Welt beziehen und „er“ jemanden bezeichnet, der keinen Butler erschossen hat, dann ist diese Aussage falsch. Dies ist die genaue Idee eines Diskursbereichs, den ich weiter unten definiere. Hier erhält die mathematische Logik ihr Konzept von „Kontext“ oder „Bedeutung“. Der "Kontext" eines natürlichen deduktiven Systems ändert sich, genau wie die englische Semantik, je nachdem, wie wir es verwenden. Auf Englisch bezieht es sich auf das, worüber wir sprechen (unser Planet, eine andere alternative Geschichte, die Welt in einem Buch usw.

In Bezug auf die dritte Frage, die fragt (Paraphrasierung basierend auf unserem Gespräch): „Wenn wir davon ausgehen, dass die beabsichtigte Definition des Kontexts, wie sie am Anfang der Frage angegeben wurde, nicht akzeptabel ist (dh die Bedeutung einer Aussage ist „ anders" als sein Kontext), wie ist es dann wahr, dass natürliche Schlussfolgerungssysteme den Kontext nicht ignorieren und in welchem ​​Sinne?" Zuerst definieren wir, welche Bedeutung und welcher Kontext mit dieser Situation zu tun haben. Die "Bedeutung" einer Aussage bezieht sich in diesem Zusammenhang auf ihren semantischen Inhalt. Im Sinne der mathematischen Logik sind damit die modelltheoretischen Eigenschaften der jeweiligen Aussage gemeint. „Kontext“ bezieht sich darauf, welchen spezifischen Bereich des Diskurses wir diskutieren. Der Kontext ist die eigentliche Domäne (die reale Welt oder ein Buch usw.). ) und die Bedeutung sind alle Tatsachenaussagen, die über diese Welt behauptet werden. Dies führt direkt zu Teil 2 meiner Antwort, der zeigt, dass deduktive Systeme allein nicht mit Bedeutung zu tun haben. Genauso beschäftigen sich englische Sätze allein nicht mit Bedeutung. Wenn es keine Welt gibt, wenn wir keinen Diskursbereich haben, dann hat der Satz „Die Kuh ist glücklich“ keinen Wahrheitswert, weil er sich auf nichts bezieht. Die Modelltheorie in der mathematischen Logik gibt der natürlichen Deduktion etwas, auf das sie sich beziehen kann.

Um eine sehr klare und prägnante Antwort auf (3) zu wiederholen: Von selbstDie natürliche Deduktion bezieht sich nicht auf einen bestimmten Kontext oder eine bestimmte Bedeutung, da sie nur syntaktischer Natur ist und sich nur auf die deduktiven Prozesse bezieht. Der „natürliche“ Teil von „natürlicher Deduktion“ bedeutet nicht „sich auf die natürliche Welt beziehend“ (noch bezieht er sich auf „natürliche Sprachen“, woher vielleicht ein Teil Ihrer Verwirrung bezüglich der englischen Semantik kommt). „Natürlich“ wurde verwendet, weil die Erfinder der Theorie wollten, dass sich der deduktive Prozess eher so anfühlt, wie der menschliche Verstand erfährt, wenn er Schlussfolgerungen zieht. Das sagt nichts über den Kontext aus, in dem die Ableitungen stattfinden. Um den Unterschied zwischen rein syntaktischen (beweistheoretischen) Ideen und semantischen (Bedeutung und Kontext, Modelltheorie) Ideen zu verstehen, lesen Sie weiter in Abschnitt 2.

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Nun können wir zur Beantwortung der Titelfrage übergehen:

Die Definition von "Kontext" in der mathematischen Logik wird durch den Diskursbereich gegeben, über den sich die Formeln erstrecken. Die Wikipedia-Definition lautet wie folgt:

In den formalen Wissenschaften ist der Bereich des Diskurses, auch Diskursuniversum, universelle Menge oder einfach Universum genannt, die Menge von Entitäten, über die sich bestimmte interessierende Variablen in einer formalen Behandlung erstrecken können.

Angesichts dieser Definition sind die Variablen, die in einer Formel erscheinen, nur Zufallsvariablen, bis wir ihnen einen Kontext geben, indem wir einen Diskursbereich bereitstellen. In der mathematischen Logik ist der Diskursbereich durch die Modelltheorie gegeben.

Aus dem Inhalt Ihrer Frage geht hervor, dass Sie sich nur auf die Hälfte der mathematischen Logik, die syntaktische Hälfte, konzentrieren. Ja, es ist völlig richtig, dass die syntaktische Hälfte der mathematischen Logik, die Beweistheorie und die Rekursionstheorie, sich nicht um den Kontext in dem Sinne kümmern, wie Sie ihn definiert haben ("die Bedeutung von Aussagen in verschiedenen Kontexten"). Dabei wird jedoch die andere Hälfte der mathematischen Logik, der Mengenlehre und der Modelltheorie außer Acht gelassen . Die Modelltheorie ist die Disziplin, die erklärt, wie wir syntaktischen Strukturen Kontext, Bedeutung zuweisen können. Mengenlehre ist das Studium dieser spezifischen Objekte und wie sie funktionieren.

Wenn wir in der Logik so etwas wie A ⊧ φ sagen , behaupten wir, dass φ im Modell A wahr ist , was im Kontext von A bedeutet. Es ist sehr üblich, dass Leute, die nur eine grundlegende Einführung in die Logik haben, sagen: "Oh, Logik kümmert sich nicht um die Wahrheit! Sie sagt Ihnen nur, welche Argumente gültig sind, nicht welche Argumente in einem bestimmten Kontext tatsächlich wahr sind. Als Peter SchmidtIn diesem Überblick darüber, wie man Logik lernt, bezeichnet er es als „Baby-Logik“. (Ich möchte damit nicht abwertend gegenüber Ihnen sein oder auch nur implizieren, dass Sie darüber sprechen. Wenn Sie wissen, was mathematische Logik ist, wissen Sie bereits mehr als die Leute, die eine grundlegende Einführung erhalten. Mein Punkt ist dass es sehr üblich ist, dass Kurse und Einführungen in die Logik sehr einfach sind und das Konzept von Semantik und Wahrheit ignorieren, weil es viel komplizierter ist, und dies gibt den Leuten leider einen falschen Eindruck davon, was Logik ist.)

Im Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and LogicSteward Shapiro hat einen Aufsatz über logische Konsequenz, sowohl syntaktisch als auch semantisch, verfasst. Die syntaktische Hälfte der mathematischen Logik, Beweistheorie und Rekursionstheorie, befasst sich ohne Kontext, sie ist lediglich das Studium der syntaktischen Konsequenz und Deduktion. Die semantische Hälfte, die Modelltheorie und die Mengenlehre, sind die Werkzeuge, die wir haben, um die Deduktion in einen Kontext zu stellen. Sie sind die Disziplinen, die uns zeigen, wie wir willkürlichen logischen Aussagen Bedeutung hinzufügen und zeigen, in welchem ​​Kontext diese Aussagen und ihre Schlussfolgerungen als wahr gelten. In Ihrer Frage haben Sie Aussagen gemacht, die sich auf das in der mathematischen Logik verwendete deduktive System beziehen, um den Kontext nicht einzubeziehen. Das ist wahr, aber auch dies erkennt nur die Hälfte der mathematischen Logik an. Wenn sich Ihre Frage also auf die mathematische Logik als Ganzes bezieht, lautet die Antwort nein, sie enthält den Kontext. Wenn es nur um den Abzug geht,

In Anbetracht dessen, ob das, was Sie vorgeschlagen haben, wahr wäre, wäre es schrecklich, wenn die mathematische Logik keine Möglichkeit hätte, den Kontext herzustellen. Ohne Sinn für Kontext könnten wir nichts über Zahlen beweisen, nicht einmal die Grundbegriffe der Arithmetik! Wenn wir uns die deduktiven Regeln und Axiome der Arithmetik ( PA für dieses Argument) ansehen, betrachten wir die syntaktische Struktur einiger Axiome und ihr deduktives System. Wir verwenden jedoch die Modelltheorie, um diese Axiome im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen zu diskutieren . Das bedeutet, dass es uns um die Wahrheit dieser Aussagen geht, da sie sich auf einen bestimmten Kontext beziehen . Wenn wir nicht in der Lage wären, Modelle zu diskutieren, wäre die mathematische Logik als Grundlage für die gesamte Mathematik ziemlich nutzlos.

Um ein sehr konkretes Beispiel zu geben, können wir uns die Axiome einer Gruppe ansehen . Das Modell einer Gruppe ist eine Menge (A,M), wobei A eine Menge von Elementen und M eine Funktion ist, die den Gruppenaxiomen gehorcht. Die Gruppenaxiome sind Schließung , Assoziativität , Identität und Inversion . Nun, ein Beispiel für eine Gruppe ist die Menge der ganzen Zahlen Z, ausgestattet mit der Funktion der Multiplikation. Dies ist eine Gruppe, weil im Kontext von Z und Multiplikationalle Aussagen in der Sprache, die sich aus diesen Axiomen ableiten lassen, sind wahr. Nun, im Zusammenhang mit einer anderen Menge, sagen wir den natürlichen Zahlen N, ausgestattet mit Multiplikation, sind die Gruppenaxiome nicht erfüllt. Wieso den? Denn die natürlichen Zahlen gehorchen nicht den Axiomen der Umkehrung. Es gibt keine Inversion von „1“, wenn wir „-1“ nicht als Element haben. Dies zeigt deutlich, dass die Deduktion rein syntaktisch ist, aber in der mathematischen Logik als Ganzes geht es darum, die Syntax auf bestimmte semantische Kontexte anzuwenden.

Wir müssen sicherstellen, dass dies tatsächlich dem "Kontext von Aussagen in englischer Sprache" entspricht (oder analog dazu ist), denn wenn dies nicht der Fall ist, wie können wir dann sagen, dass "mathematische Logik den Kontext nicht ignoriert "?

Die Antwort auf diese Frage ist, dass "Kontext" in der Logik syntaktisch genau definiert werden kann und die Syntax die Idee der Unterordnung nachahmen soll, die wir in der natürlichen Argumentation und Sprache finden. Also ja, Logik soll Kontexte genauso syntaktisch darstellen wie natürliche Sprache. Aber nein, es kann die Kontexte der natürlichen Sprache nicht absolut erfassen, denn es muss immer eine Interpretationsebene geben, die die symbolischen Kontexte und Aussagen in jedem logischen System in die semantischen Bedeutungen umwandelt, die wir (wie wir glauben) verstehen.

Als einfaches Beispiel können wir sagen:

L bezeichne die Aussage, dass natürliche Sprache nützlich ist.

Das Logiksystem kann niemals diese mentale Verbindung zwischen „natürliche Sprache ist nützlich“ und der tatsächlichen Bedeutung herstellen, die sie den meisten Sprechern des Englischen vermittelt. Darüber hinaus können verschiedene Personen es unterschiedlich interpretieren und es ist für das Logiksystem undurchsichtig. Wir ignorieren dieses Problem jedoch absichtlich , damit wir Aussagen logisch gemäß den Inferenzregeln manipulieren können, bevor wir zurückgehen und unsere Schlussfolgerungen interpretieren. Wenn das Publikum mit der Solidität der Inferenzregeln gemäß seiner Interpretation einverstanden ist, reicht es aus, es zu zwingen, Schlussfolgerungen zu akzeptieren, die gültig aus akzeptierten Prämissen abgeleitet wurden. Ihre Interpretationen können sich völlig von unseren unterscheiden, und wir haben vielleicht sogar keine Möglichkeit, dies zu sagen. Dieser Aspekt kann niemals durch Logik oder Mathematik erfasst werden.

Wie stimmt es, dass Natürliche Deduktionssysteme den Kontext nicht ignorieren und in welchem ​​Sinne?

Natürliche Deduktion ist lediglich ein Paradigma , kein System an sich. Sein Hauptmerkmal ist, dass es syntaktisch definierte Kontexte verwendet, um symbolisches Denken innerhalb und außerhalb von ihnen zu ermöglichen und zu erleichtern. Insbesondere haben wir oft Einführungs- und Eliminierungsregeln, um Kontexte zu regeln.

Beispielsweise hat die Modallogik S4 einen Notwendigkeitsoperator "☐", der von den folgenden Kontextregeln bestimmt werden kann, die lose wie folgt beschrieben werden.

Wenn Sie abgeleitet haben:

☐:

...

P.

Sie können ableiten:

☐S.

Und umgekehrt.

Wir erlauben auch klassische Argumentation in jedem Kontext, was zusammen mit der Fähigkeit, einen neuen Kontext unter einem „☐“ zu erstellen, zu dem Verteilungsaxiom führen wird, wie es in diesem SEP-Artikel definiert ist . Wenn wir weiter die Notwendigkeitsschlussregel hinzufügen, erhalten wir automatisch sowohl sie als auch (4), was die enge Beziehung zwischen den beiden im Rahmen der natürlichen Deduktion zeigt.

Nebenbei bemerkt , eine kurze Diskussion mit Not_Here hat gezeigt, dass es einige Unterschiede in unseren Perspektiven gibt, also werde ich darauf hinweisen. Erstens stimmen wir beide darin überein, dass Mathematik (und insbesondere natürliche Deduktion) dieselbe Aussage in verschiedenen Kontexten leicht behandeln und analysieren kann. Er/sie behauptet jedoch auch, dass die Modelltheorie die Antwort auf die Semantik ist, und verweist auf den Artikel von SEP über Modelltheorie. Ich bin der Meinung, dass es aus der Perspektive eines Logikers ein unvollständiges und irreführendes Bild darstellt.

Der Grund dafür ist, dass jede Art von Argumentation letztendlich auf einem Metasystem basieren muss. Ohne ein genau definiertes Metasystem gibt es keine Möglichkeit, Argumente zu validieren oder zu entkräften. Aber der einzig bekannte Weg, ein Metasystem genau zu definieren, ist bis heute die Syntax. Ein üblicher Weg besteht darin, Inferenzregeln der Form "Wenn Sie Aussagen der Form ... abgeleitet haben, dann können Sie die Aussage ... ableiten" anzugeben und dann anzugeben, dass das Metasystem keine anderen Aussagen als die generierten ableitet durch die Inferenzregeln. Um meinen Anspruch zu präzisieren, ist diese Art von formalem System jedoch zu restriktiv. Um die größtmögliche Allgemeingültigkeit zu erreichen, definieren wir ein formales System S als ein System, das einen Beweisverifizierer hatV, das ein Programm ist (in einer festen Turing-vollständigen Sprache), das, wenn es als Eingabe ein Paar (P, X) (in einer festen Codierung) gegeben hat, entscheidet (immer "ja" oder "nein" ausgibt), ob P ein ist gültiger Beweis der Aussage X oder nicht. Während ich die Begriffe „Beweis“ und „Aussage“ verwende, dienen sie lediglich der Intuition und sind nicht wirklich Teil der Definition. Mit anderen Worten, wir definieren tatsächlich, dass eine endliche Zeichenkette P genau dann ein Beweis über S einer endlichen Zeichenkette X ist, wenn V(P,X) wahr ist, in welchem ​​Fall wir sagen, dass X ein Theorem von S ist .

Jetzt können wir uns der angefochtenen Behauptung zuwenden. Die Modelltheorie , wie der Begriff heute von modernen Logikern verwendet wird, bezieht sich auf einen Zweig der Mathematik, und die moderne Mathematik basiert normalerweise auf einem bestimmten formalen System, das als ZFC-Mengentheorie bezeichnet wird . Aber die ZFC-Mengentheorie ist nur eine von vielen , die nicht kompatibel sindMögliche Grundlagen der Mathematik. Bevor man also behaupten kann, dass irgendetwas die Bedeutung der realen Welt richtig erfassen kann, müsste man zunächst begründen, dass es auf einem formalen System basiert, das für Aussagen über die reale Welt wahrheitserhaltend ist. Im Fall der modernen Modelltheorie müsste man rechtfertigen, dass die ZFC-Mengentheorie genau in diesem Sinne eine reale Bedeutung hat, und dies würde erfordern, dass man eine reale Interpretation jedes Satzes über ZFC geben kann, und das kann man zeigen, dass die Axiomenschemata von ZFC wahrheitserhaltend sind (hier gebe ich bereits zu, dass die klassische Logik solide ist). Dies ist eine sehr große Aufgabe, und kein Logiker hat dies jemals getan, und denken Sie daran, dass es viele inkompatible Kandidaten für eine Grundlage der Mathematik gibt, sodass keine zwei von ihnen beide mit der realen Welt kompatibel sein können.

Natürlich kann „Modelltheorie“, wie sie von Philosophen verwendet wird, viel weniger bedeuten als „Modelltheorie“, wie sie von Logikern verwendet wird. Das ist völlig normal. Aber die erste Konsequenz aus der Frage, das Metasystem genau spezifizieren zu müssen, ist, dass man sich nicht einfach auf die Modelltheorie beziehen sollte, als ob es nur einen solchen Begriff gäbe. Tatsächlich gibt es ein feines Spektrum an Metasystemen und entsprechenden philosophischen Begründungen oder deren Fehlen, und ich gebe in diesem Beitrag eine kurze Darstellung und einige Links .

Nach einem Blick auf das Spektrum möglicher Metasysteme sollte klar sein, dass sich Dinge nicht so einfach so absolut rechtfertigen lassen, wie man meinen könnte. Zum Beispiel kann man "die natürlichen Zahlen" niemals als absolut betrachten. Alle nützlichen Metasysteme werden eine Struktur haben, die die Axiome von PA erfüllt, aber sie ist jedem Metasystem eigen. Kein Metasystem ist in der Lage, auf die sogenannten „echten“ natürlichen Zahlen in der realen Welt zu verweisen, selbst wenn sie existieren. Der Grund ist einfach und lässt sich (in einem geeigneten Metasystem) wie folgt begründen.

Nehmen Sie ein beliebiges (konsistentes) nützliches formales System S, das eine beliebige Sammlung von „natürlichen Zahlen“ konstruieren kann, die in erster Ordnung über PA definierbar ist. Dann gibt es einen arithmetischen Satz Con(S) derart, dass:

1. S beweist nicht, dass S konsistent ist.

2. S beweist, dass N Con(S) genau dann erfüllt, wenn S konsistent ist.

Nun kann S seine eigene Konsistenz nicht beweisen, sonst würde (1) S inkonsistent machen. Also kann S nicht beweisen, dass N Con(S) erfüllt. Ebenfalls:

3. ( S + S ist inkonsistent ) ist konsistent.

4. ( S + S ist inkonsistent ) beweist, dass N PA erfüllt.

Natürlich lehnen wir ( S + S ist widersprüchlich ) als eigentlich nützlich ab, aber warum? Einfach weil wir (hier im Metasystem) beweisen können, dass ( S + S ist inkonsistent ) die falsche Vorstellung von N haben muss , nämlich dass es anders ist als das 'echte' N (das das Metasystem kennt). Dies zeigt jedoch, dass PA völlig unzureichend ist, um den Begriff der natürlichen Zahlen zu erfassen. Historisch gesehen hat Gödel dies auch getan, um die Existenz eines nicht standardmäßigen PA-Modells zu beweisen.

Aber das hat schwerwiegende Folgen. Wir sind nicht in der Lage, die natürlichen Zahlen festzunageln, aber wir müssen ein Metasystem spezifizieren, das genau diese Sammlung hat (von dem man vielleicht glauben könnte, dass es eine platonische Existenz hat). Keine Erweiterung von PA wird ausreichen, und so kann sich unser Metasystem sehr wohl auf ein seltsames Modell von PA beziehen, das nicht wirklich dasselbe ist wie die natürlichen Zahlen der realen Welt (falls eine solche Struktur existiert). Auch das Metasystem selbst kennt diese Möglichkeit (wie oben gezeigt)!

Aus diesem Grund ist es letztlich eine philosophische Frage, ob ein bestimmtes formales System eine Bedeutung in der realen Welt hat, was dann weitreichende Auswirkungen auf die Modelltheorie hat, die in diesem formalen System als dem Metasystem der Wahl ausgeführt wird. Zu schwach, und man wäre nicht in der Lage, grundlegende Dinge über Logik abzuleiten, wie im verlinkten Beitrag beschrieben. Nur eine „falsche“ Inferenzregel, und das Metasystem hätte notwendigerweise eine Sammlung von „natürlichen Zahlen“, die es für Standard hält, es aber tatsächlich nicht ist. Wenn wir glauben, dass es eine Sammlung von Repräsentationen in physischen Medien gibt, die PA gehorchen, wenn sie unter Verwendung von Algorithmen geeignet interpretiert werden (was erklärt, warum HTTPS und andere bekannte Algorithmen funktionieren), dann glauben wir notwendigerweise, dass dieses Modell von PA per Definition der Standard ist physische Darstellungen, und daher können wir kein Metasystem akzeptieren, das kein Standardmodell von PA hat. Logisch gesehen akzeptieren wir nur ein Metasystem, das ein ω-Modell hat. Das Problem ist, wie Sie jetzt vielleicht erwarten, dass wir "ω-Modell" nur relativ zu einem bestehenden Modell von PA definieren können ...

(Eigentlich gibt es eine ω-Logik, die die natürlichen Zahlen und die gesamte Theorie erster Ordnung tatsächlich festmachen kann, aber natürlich hat die ω-Logik kein effektives deduktives System.)