Einige grundlegende Fragen zu Instantonen

1) Angenommen, Sie haben zwei Konfigurationen (hier habe ich das Coulomb-Messgerät mit euklidischer Zeit verwendet$\tau$):

$$\tag 0 A_{i}(x) = \begin{cases} 0 = U^{(0)}\partial_{i}(U^{(0)})^{-1}, \quad \tau = -\infty \\ U^{(1)}\partial_{i}(U^{(1)})^{-1}, \quad \tau = \infty\end{cases}$$ Eine solche Situation beschreibt das Tunneln zwischen Vakua mit topologischen Ladungen $0$Und $1$. Als nächstes müssen Sie die Maurer-Cartan-Invariante berechnen (siehe Gl. $(1)$), die für die gegebene Konfiguration gleich 1 ist. Es kann durch Eichinvarianz dieser Größe und durch Integration auf der Zylinderoberfläche gezeigt werden, in der $z$Achse bezeichnet die Zeit, während "senkrechte" Richtungen räumliche Koordinaten bezeichnen, denen sie gleich ist $$n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\left(\int d^{3}\mathbf r\epsilon_{ijk}\text{Tr}A_{i}A_{j}A_{k}\right)_{\tau = -\infty}^{\tau = \infty} = |(0)| = n[U^{(1)}] - n[U^{(0)}]$$ Damit Sie das in der Coulomb-Eichung sehen $A_{0} = 0$die Instanton-Lösung $(0)$beschreibt wirklich das Tunneln zwischen Vakua mit topologischen Ladungen $0$Und $1$. Da jedes Instanton mit beliebigem topologischen Wert als Menge von Instantonen mit topologischem Wert beschrieben werden kann $1$(siehe 4)) und aufgrund der Eichinvarianz von $n$, gilt das oben angegebene Ergebnis für die Konfiguration mit beliebiger Anzahl $n$und für jedes Messgerät.

2) Ja, Instantonen sind Lösungen klassischer Bewegungsgleichungen. Aber nur das Quantensystem kann als Überlagerung verschiedener Zustände beschrieben werden. Bei Theorien mit nichttrivialen topologischen Eigenschaften ist im Allgemeinen der Stand der Theorie

$$|\text{vac}\rangle = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c(n)| n\rangle$$ Aufgrund der Möglichkeit des Tunnelns zwischen Vakuum mit unterschiedlichen Werten von $n$ $c(n)$ist nicht für alle null $n$. Das lässt sich zeigen $c(n) = e^{-i\theta n}$, Wo $\theta$ist ein beliebiger Parameter. Dies ist natürlich in der klassischen Theorie unmöglich.

3) Im Allgemeinen müssen Sie finden$U(x)$so dass es eine bestimmte topologische Ladung hat. Wenn Sie es finden, erhalten Sie die Lösung mit korrekter Asymptotik. Zum Beispiel aufgrund der Tatsache, dass$U^{-1} = \tau_{\alpha}n_{\alpha}$, Wo$\tau_{\alpha}$Ist$SU(2)$Gruppengenerator u$n_{\alpha}$der Einheits-3-Vektor ist, entspricht der topologischen Ladung$1$, gilt folgende Beziehung:

$$U^{-1}\partial_{\mu}U = -i\bar{\eta}_{\mu \alpha a}\frac{n_{\alpha}}{r}\tau_{a} \sim \frac{1}{r},$$ was für die Endlichkeit der Wirkung ausreicht. Hier $\bar{\eta}_{\mu \alpha a}$ist ein antiselbst-duales t'Hooft-Symbol.

Die Beziehung zwischen Endlichkeit der Wirkung und zwischen Konfigurationen mit unterschiedlichen topologischen Ladungen folgt aus der Bogomolny-Ungleichung.

4) Zwei verschiedene$SU(2)$Elemente$U^{(1)}(x),U^{(2)}(x)$entspricht den verschiedenen Werten der Maurer-Cartan-Invariante:

$$\tag 1 n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d\sigma_{\mu}\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}\text{Tr}[\rho_{\nu}\rho_{\rho}\rho_{\sigma}],$$ Wo $$\rho_{\alpha} \equiv U\partial_{\alpha}U^{-1}$$ Diese Größe ist bei kleinen Störungen unveränderlich $U \to U + \delta U$und unter Koordinatenersatz $x \to x{'}$. Das bedeutet es $U^{(1)}$Und $U^{(2)}$sind topologisch inäquivalent, da es ein Erhaltungsgesetz der topologischen Ladung gibt: kontinuierliche Transformation von $U^{(1)}$was es umwandelt $U^{(2)}$existiert nicht. Prinzipiell jedoch Konfiguration mit topologischer Ladung $2$kann als Satz von Konfigurationen mit zusammenfassender topologischer Ladung dargestellt werden $2$.