Ich studiere Soliton (einsame Wellen). Es gibt viele Theorien, die das Phänomen erklären, wie das Sinus-Gordon-Modell . Das Sinus-Gordon-Modell hat jedoch Einschränkungen, wenn es auf 4 Dimensionen angewendet wird, da es nur für nur zwei Dimensionen gültig ist.
Welche Themen / Theorien werden behandelt, um Solitonen vollständig zu verstehen?
Solitonen sind magisch in dem Sinne, dass es selten ist, eine exakte Lösung für eine nichtlineare Feldtheorie zu haben, und es keinen wirklich systematischen Weg gibt, sie zu lösen. Ich meine mich zu erinnern, dass das Lehrbuch der klassischen Dynamik von José und Saletan eine gute Erörterung von Solitonen enthält, mit den Sinusgleichungen von Gordon und Kortweig-de Vries als Beispiele der Wahl.
Auch für die nichtlinearen Maxwell-Vlasov-Gleichungen in der Plasmaphysik ist von "Solitonen" die Rede, aber das sind keine Solitonen im Sinne der Hamiltonschen Feldtheorie.
Die KDV-Theorie basiert auf Annäherungen an die maßgeblichen Gleichungen und ist daher nur schwach nichtlinear. Vollständig nichtlineare interne Einzelwellen können durch die Dubreil-Jacotin-Long (DJL)-Gleichung [Long, 1953] erhalten werden, für die es spezielle nichtlineare Fälle gibt, die analytischen Methoden zugänglich sind. Die DJL-Gleichung ist das formale Äquivalent zu den Euler-Gleichungen, die Lösungen für stationäre NLIWs beliebiger Amplitude in kontinuierlich geschichteten, inkompressiblen, reibungsfreien Flüssigkeiten liefern. Seine Lösung kann als Anfangsbedingung in einem numerischen Modell verwendet werden und beinhaltet das Lösen eines elliptischen Eigenwertproblems für die Stromfunktion, was eine unendliche Anzahl interner Wellenmoden ergibt, wobei die niedrigste Mode auch die schnellste ist. Eine Reihe von Studien hat nach numerischen Lösungen der DJL-Gleichung gesucht, tiefe Modus-2-Solitärwellen wurden zuerst von Benjamin [1966], Davis und Acrivos [1967], Tung et al. [1982]. Eine Einschränkung besteht darin, dass sich diese Theorie, da sie stabil ist, nicht mit der Zeit weiterentwickelt.
Solitonen sind nur nichtlineare Wellen. Sie treten in fast jedem nichtlinearen System auf, ähnlich den üblichen (linearen) Wellen, die Anregungen in verschiedenen Systemen charakterisieren (Deformationswellen, akustische Wellen, elektromagnetische Wellen). Ein unterscheidendes Merkmal eines Solitons ist, dass es im Raum lokalisiert ist. Normalerweise hat ein Soliton eine glockenförmige Form (manchmal wird dieser Typ als "dynamisches Soliton" bezeichnet) oder eine Stoßwellen- oder Knickform (als "topologisches Soliton" bezeichnet). Ein weiteres Merkmal des Solitons ist, dass es sich wie ein Teilchen verhält, wenn es mit einem anderen Soliton oder einem Hindernis (Potenzial) interagiert. In frühen Tagen (in den 60-80er Jahren des 20. Jahrhunderts) wurde ein Begriff "Soliton" nur auf Anregungen in integrierbaren Systemen (wie dem Sinus-Gordon-Modell, der KdV-Gleichung, der nichtlinearen Schrödinger-Gleichung usw.) bezogen. Aber heute,
Für Anfänger würde ich ein Buch von M. Remoissenet empfehlen, "Wellen genannt Solitonen", das eine gute Einführung in das Thema darstellt. Außerdem gibt es ein relativ altes, aber immer noch gutes und kurzes Buch von P.Bhatnagar, "Nonlinear Waves in One-Dimensional Dispersive Systems".
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