Keine Monopole im Weinberg-Salam-Modell

I) Betrachten Sie eine Yang-Mills-Typentheorie mit Eichgruppe$G$. Im Prinzip können wir dieselbe Theorie mit ihrer Deckgruppe betrachten $\tilde{G}$, mit$\pi:\tilde{G}\to G$. Die Bedeckungsgruppe ist per Definition einfach zusammenhängend:

$$\tag{1} \pi_1(\tilde{G})~=~\{\bf 1\}.$$ Jede Vertretung $\rho$von $G$kann natürlich als Repräsentation angesehen werden $\rho\circ \pi$von $\tilde{G}$. (Achtung: Das Gegenteil ist nicht der Fall.) Daher wandeln sich auch die Felder der Theorie unter $\tilde{G}$, und die Theorie ist invariant unter $\tilde{G}$. Mit anderen Worten, wir konnten im Prinzip von Anfang an sehen $\tilde{G}$als Eichgruppe der Theorie vgl. Abschnitt III unten.

II) Nehmen Sie als nächstes eine spontane Symmetriebrechung der Eichgruppe an$G \to H$zu einer Untergruppe$H$. Untergruppe definieren

$$\tag{2} \tilde{H}~:=~\pi^{-1}(H)~\subseteq~ \tilde{G}.$$

Konkret für die elektroschwache Theorie ist die Eichgruppe

$$\tag{3} G~:=~ SU(2)_I\times U(1)_Y ~\supset~ U(1)_I\times U(1)_Y;$$

die Abdeckgruppe

$$\tag{4} \tilde{G}~=~SU(2)_I\times (\mathbb{R},+)_Y$$

ist nicht kompakt; und die ununterbrochene elektromagnetische Untergruppe

$$\tag{5} H~:=~U(1)_Q~\subset~ U(1)_I\times U(1)_Y$$

ist unregelmäßig/nicht kompakt/inkommensurabel/nicht-topologisch eingebettet, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier . Hier haben wir diese Tangente an den Weinberg-Winkel angenommen $\tan\theta_W\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ist irrational. Jetzt da die Non-Compact-Gruppe$H$ist keine Untergruppe von$SU(2)_I$, die Untergruppe

$$\tag{6} \tilde{H}~=~(\mathbb{R},+)_Q$$

ist auch nicht kompakt. Es wird auch einfach angeschlossen

$$\tag{7} \pi_1(\tilde{H})~\cong~\{\bf 1\}.$$

III) Betrachten wir nun die Gruppe der Nicht-Kompaktspuren$\tilde{G}$in Gl. (4) als Eichgruppe der elektroschwachen Theorie. Die nicht kompakte Eichgruppe des Elektromagnetismus (5) wird dann durch die nicht kompakte Untergruppe (6) ersetzt. Die Standard-Monopolanalyse zeigt dann, dass es in der elektroschwachen Theorie keine magnetischen Monopole gibt

$$\tag{8} \pi_2(\tilde{G}/\tilde{H})~\cong~{\rm Ker}\left(\pi_1(\tilde{H})\to \pi_1(\tilde{G})\right)~\stackrel{(1)}{\cong}~\pi_1(\tilde{H})~\stackrel{(7)}{\cong}~\{\bf 1\},$$

vgl. zB Art.-Nr. 2.

IV) Lassen Sie uns nun auf die Frage von OP zurückkommen. Ref. 1 betrachtet das System aus der Perspektive von$G$Und$H$statt$\tilde{G}$Und$\tilde{H}$, und überarbeiten Sie die Standard-Monopolanalyse in dieser Sprache. Das Problem ist, dass eine geschlossene Schleife$\gamma\in G$das umschließt a$U(1)\subseteq G$hat einen nicht kompakten Aufzug$\tilde{\gamma}\in \tilde{G}$was kein geschlossener Kreislauf ist. Ebenso eine geschlossene Schleife$\gamma\in H$das umschließt a$U(1)\subseteq H$hat einen nicht kompakten Aufzug$\tilde{\gamma}\in \tilde{H}$was kein geschlossener Kreislauf ist.

Intuitiv/heuristisch der relevante Begriff$\tilde{\pi}_1(\tilde{H})$(von solchen nicht kompakten "geschlossenen" Pfaden) hat mehr Pfade als nur (7) und für die elektroschwache Theorie die relevante Größe

$$\tag{9} \pi_2(G/H)~\cong~\pi_2(\tilde{G}/\tilde{H})~\cong~{\rm Ker}\left(\tilde{\pi}_1(\tilde{H})\to \tilde{\pi}_1(\tilde{G})\right)~\cong~\{\bf 1\}$$

ist trivial, in Übereinstimmung mit Gl. (8). Siehe Ref. 1 für weitere Details.

Verweise:

1. LH Ryder, Quantum Field Theory, 2. Aufl., 1996; P. 412.

2. S. Coleman, Aspekte der Symmetrie, 1985; P. 217 & 221.

3. FA Bais, Sein oder Nichtsein? Magnetische Monopole in nicht-abelschen Eichtheorien, arXiv:hep-th/0407197 . (Huttipp: Jäger .)

4. S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, vol. 2, 1996; P. 443-445.

5. J. Preskill, Magnetische Monopole, Ann. Rev. Nucl. Teil. Wissenschaft. 34 (1984) 461-530 ; Abschnitte 4.2 & 4.3. Die PDF-Datei finden Sie hier .

(Die Antwort von Qmechanics ist in der Tat richtig, aber ich möchte noch ein paar Worte verlieren. Ich habe mir schließlich ein Bild gemacht, als ich Weinbergs Quantum Field Theory of Fields II gelesen habe.)

Weinberg geht in seiner zweiten Quantentheorie der Felder auf die Frage ein, ob die beteiligten Felder nicht zur Extrarepräsentation der Deckgruppe gehören$\tilde{G}$, wenn wir die Eichweite als die nicht einfach zusammenhängende Gruppe betrachten sollten$G$oder seine Deckgruppe$\tilde{G}$.

Das war mein Problem, früher habe ich nicht verstanden, welche Gruppe Sie berücksichtigen müssen$G$oder$\tilde{G}$. Ändert sich das Ergebnis, dh das Spektrum der Monopole, durch beide Entscheidungen?

Er argumentiert dann, dass dies nicht der Fall sei. ZB in einer dreidimensionalen Welt, also mit a$S^3$Grenze wird die topologisch stabile Monopolkonfiguration durch die zweite Homotopiegruppe bestimmt$\pi_2(G/H)$. Dies kann, wie von Qmechanics erwähnt, als Kern der Karte berechnet werden

$$\pi_1(H) \rightarrow \pi_1(G)$$ Wenn $H$eingebettet ist $G$.

Allerdings, wenn wir ersetzen$G$durch seine Deckgruppe$\tilde{G}$, wir müssen uns auch ändern$H$sein Urbild$\tilde{H} = \Pi ^{-1}(H)$durch die kanonische Projektion$\Pi: \tilde{G}\rightarrow G$. Das liegt daran, dass die Schleifen einlaufen$H$nicht unbedingt "zurückschließen", wenn$H$eingebettet ist$\tilde{G}$. Dies sind die Schleifen, die nicht trivial werden, wenn$H$ist in die Abdeckgruppe eingebettet$\tilde{G}$. Wir können daher identifizieren

$$\pi_2(G/H)=\pi_1(\tilde{H})$$ .

Das bedeutet aber, dass es für die Monopole sowieso egal ist, ob wir die Spurweitengruppe dazu betrachten$\tilde{G}$anstatt$G$.

Ein Beispiel: das Georgi-Glashow-Modell. Hier kann die Eichgruppe als doppelt verbundene Gruppe identifiziert werden$SO(3)$. Seine Deckgruppe ist (die einfach zusammenhängende)$SU(2)$.

Die ungebrochene Symmetrie sind die Rotation in der Ebene$SO(2)$wo die Drehungen, die sich unterscheiden$2\pi$sind identifiziert. Daher Pfad von der Identität zu$2\pi$sind Schleifen drin$\pi_1(SO(2))$. Aber sobald wir einbetten$SO(3)$In$SU(2)$Wir müssen zweimal herumgehen, rotieren$4\pi$, um zur Identität zurückzukehren und eine Schleife zu schließen: Es schließt die Schleifen aus, die sich nach einem ungeraden Vielfachen von schließen$2\pi$In$\pi_1(SO(2))$und deshalb

$$\pi_1(SO(2)) \neq \pi_1(\tilde{SO(2)}) = \pi_2(SO(3)/SO(2))).$$

Die Elemente von$\pi_1(SO(2))$die auf das triviale Element von abbilden$\pi_1(SO(3))$sind diejenigen, die vom Einheitselement zu einer Drehung von gehen$2\pi$:

$$\pi_2(SO(3)/SO(2))\cong U(1)$$ Wo $U(1)$ist eine Untergruppe von $SU(2)$, die Deckgruppe $\tilde{G}$unabhängig davon, ob wir darüber nachgedacht hatten $G$oder $\tilde{G}$als Gaunergruppe von Anfang an!

Schnelle Antwort: Sie können immer die Messgerätegruppe berücksichtigen$G$um die einfach verbundene Abdeckgruppe zu sein, so dass Sie das Ergebnis verwenden können$\pi_2(G/H)=\pi_1(H)$.