Energie sparen beim Laden des Kondensators

Wie von @CuriousOne betont wurde, kann man Energie sparen, aber lassen Sie mich zuerst den Kontext erklären, in dem man diesem Energieverlust normalerweise zuerst begegnet.

Ein Kondensator$C$in Reihe mit einem Widerstand$R$und eine Spannungsquelle$V$ist geladen.

Wenn die endgültige Ladung auf dem Kondensator ist$Q$dann ist die von der Spannungsquelle verrichtete Arbeit$VQ$und wie$Q=CV$die von der Quelle geleistete Arbeit ist$CV^2$.

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist$\int_0^QVdQ = \int_0^Q\frac Q C dQ = \frac 1 2 CV^2$. Die Integration muss erfolgen, da sich beim Laden des Kondensators die Spannung an seinen Platten ändert.

Die fehlende Energie ist$\frac 12 CV^2$und das geht als Wärme im Widerstand verloren.

Um zu zeigen, dass das stimmt und der Verlust unabhängig vom Wert des Widerstands in der Schaltung ist, muss man etwas mehr Schaltungsanalyse durchführen.
Während des Ladevorgangs kann angezeigt werden, dass der Strom im Stromkreis$I(t) = \frac V R e^{-\frac {t}{RC}}$.

Die Verlustleistung in einem Widerstand ist$I^2R$während des Änderungsvorgangs wird also die Energie im Widerstand dissipiert$\int_0 ^\infty \frac {V^2}{R^2} e^{-\frac {2t}{RC}} dt = \frac 1 2 CV^2$.

Wenn der Kondensator auf die beschriebene Weise geladen wird, ändert das Ändern des Widerstandswerts nicht die Menge an Energie, die als Wärme verloren geht.
Wenn der Widerstand sehr klein wird, anstatt dass der Ladevorgang einer exponentiellen Kurve folgt, wird der Strom im Stromkreis zu einer gedämpften Sinuskurve und dann geht Energie als Wärme und elektromagnetische Wellen verloren, weil die Elektronen in den Drähten beschleunigt werden und ungebundene Beschleunigungsladungen elektromagnetische Strahlung abgeben .

Der Faktor$\frac 1 2$spielt in vielen anderen Situationen eine Rolle, zB die in einer Induktivität gespeicherte Energie$\frac 1 2 LI^2$und in einer Quelle$\frac 1 2 k x^2$.

In all diesen Fällen wird die "fehlende" Energie aufgrund des Widerstands in einem elektrischen Stromkreis und der Reibung im mechanischen Beispiel als Wärme wiedererlangt.

Verwendung des Hookeschen Gesetzes für eine Feder mit Federkonstante$k$die eine statische Erweiterung von hat$x$wenn ein Gewicht$mg$wird an seinem Ende aufgehängt$mg= kx$.

Die von der Gravitationskraft verrichtete Arbeit ist$mgx = kx^2$wohingegen die in der Feder gespeicherte Energie ist$\frac 12 k x^2$

Stellen Sie sich in diesem Fall vor, die Masse bei entspannter Feder loszulassen.
Was würde passieren?
Die Masse würde um die statische Verlängerungsposition oszillieren, und da Reibungskräfte mechanische Energie in Wärme umwandeln, würde die Masse schließlich die statische Verlängerungsposition erreichen.

Wie können Sie diese fehlende Energie speichern?

Ein Grund für die Einführung der Feder ist, dass die Diskussion der Bewegung eines Feder-Masse-Systems vielleicht das Verständnis einer Antwort auf diese Frage erleichtert?

Was Sie tun, ist, bei nicht ausgefahrener Feder die Masse loszulassen und die Masse zu fassen, wenn sie nach einer halben Periode zum ersten Mal stoppt.

Wenn keine Reibungskräfte vorhanden sind, geschieht dies beim Ausfahren der Feder$2x$.

Die von der Gravitationskraft verrichtete Arbeit ist jetzt$mg 2x = 2kx^2$.

Die in der Feder gespeicherte Energie ist$\frac 1 2 k (2x)^2 = 2 k x^2$was genau der von der Gravitationskraft verrichteten Arbeit entspricht.

Keine Energie wird als Wärme verschwendet.

Und was ist mit dem Kondensator?

Hier braucht man einen möglichst kleinen Widerstandswert in der Schaltung, damit die Spannung am Kondensator dazwischen schwingt$0V$Und$2V$um$V$(der endgültige Spannungswert), genau wie die Feder.

In diesem Fall trennen Sie den Kondensator nach einer halben Periode von der Spannungsquelle, wenn die Spannung über dem Kondensator 2 V beträgt.

Die Arbeit der Spannungsquelle wird nun verrichtet$V 2Q = 2CV^2$.

Die im Kondensator gespeicherte Energie ist$\frac 1 2 C (2V)^2 = 2 CV^2$was genau der von der Spannungsquelle verrichteten Arbeit entspricht.

Keine Energie wird als Wärme verschwendet.

Sie haben die gesamte von der Spannungsquelle gelieferte Energie im Kondensator gespeichert.

Aktualisierung angefordert von @user54826

Um die Feder-Masse-Analogie fortzusetzen, müssen Sie dem Stromkreis eine Induktivität hinzufügen.
Sie benötigen also eine Schaltung mit einem Kondensator, der Energie in einem elektrischen Feld (potentielle Energie) speichert, und einem Induktor, der Energie in einem magnetischen Feld speichert ("kinetische Energie"), wie hier erklärt .

Anfangs ist der Strom Null und die Ladung des Kondensators ist Null.
Der Schalter ist geschlossen und obwohl der Strom Null ist, ändert sich der Strom mit der Induktivität, die eine EMK erzeugt$L\frac {di}{dt}$gegen die Änderung.
Wenn Strom zu fließen beginnt, beginnt sich der Kondensator aufzuladen und entwickelt eine Potentialdifferenz über ihm$\frac q C$.

Allying Kirchhoffs Spannungsregel für die Schaltung ergibt

Der Kondensator lädt sich aber weiter auf, wenn die Potentialdifferenz über dem Kondensator ist$v_{\rm cell}$Es gibt immer noch einen Strom in der Schaltung (dh der Induktor hat einen Energiespeicher in seinem Magnetfeld) und da der Strom nicht sofort aufhören kann, lädt sich der Kondensator weiter auf, bis die Spannung an ihm erreicht ist$2v_{\rm cell}$wenn der Strom Null wird.
An diesem Punkt wird jetzt, wenn Sie den Schalter geöffnet haben, die gesamte von der Zelle gelieferte Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert.

Im weiteren Verlauf würde die Spannung am Kondensator dazwischen oszillieren$0$Und$2v_{\rm cell}$etwa eine Spannung von$v_{\rm cell}$wie in der Ausgabe einer Simulation mit der Zellspannung gezeigt$1\,\rm V$. Bitte beachten Sie, dass diese Simulation bei mir nicht funktioniert hat, wenn ich Firefox unter Windows 10 verwendet habe, aber mit Edge funktioniert hat.

Die Periode der Schwingung ist$2\pi\sqrt{LC}$.

In einem Kommentar von @CuriousOne gibt es einen Link zu den folgenden Bildern, aber keine Erklärung.

Dies sind in der Tat Beispiele für Schaltnetzteile.
Weitere Informationen und einige nette Animationen zum Buck-Converter und zum Buck-Boost-Converter gibt es hier .

Update 2: Wie in der Diskussion unter dieser Antwort angefordert, hier einige weitere Informationen und Erläuterungen:

Elektromagnetische Strahlung wird immer emittiert, aber normalerweise ist der Energieverlust aufgrund dieses Prozesses viel geringer als bei anderen Prozessen - Erwärmung. Wenn alles andere versagt, verlieren sie Energie, indem sie elektromagnetische Strahlung emittieren.

Wenn wir davon ausgehen, dass man normale Leiter (mit Widerstand) und Induktivitäten (sogar parasitär) hat, dann würde die Amplitude der im transienten Diagramm gezeigten Schwingungen im Laufe der Zeit abnehmen. Wenn der Widerstand kleiner wird, würde der elektromagnetische Strahlungsverlust im Vergleich zu dem ohmschen Erwärmungsverlust signifikanter werden.