Energie-Zeit-Unsicherheit und Paarbildung

Üblicherweise wird das Energie-Zeit-Analogon der Ort-Impuls-Unschärferelation als angegeben Δ E Δ T ≥ H 4 π . Das hat Interpretationsprobleme und so. Aber mit einer passenden Definition von Δ T , das lässt sich ableiten. Siehe zum Beispiel die Energie-Zeit-Unschärferelation . Die Deutung für Δ T ist dann die Zeit, die eine beliebige Observable benötigt, um sich um eine Standardabweichung zu ändern.

Wenn populärwissenschaftliche Autoren versuchen, die Hawking-Strahlung heuristisch zu erklären, erwähnen sie die gleiche Unsicherheitsrelation und sagen dies für Zeitskalen Δ T ∼ 1 Δ E , Teilchen mit Energie Δ E erstellt werden können. Dies geschieht sogar im Vakuum. Kann bitte jemand erklären, wie die zweite Beziehung (zumindest heuristisch) aus der ersten folgt?

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Die Heisenbergsche Unschärferelation gilt nur für Operatoren, die kanonische Kommutierungsregeln erfüllen. Dies ist der Fall für entsprechende Komponenten von Orts- und Impulsoperatoren, nicht jedoch für den Energieoperator (Hamiltonian), der keinen zugeordneten konjugierten Partner hat. (Konjugierte Paare selbstadjungierter Operatoren haben notwendigerweise ein unbeschränktes Spektrum, während ein guter Hamilton-Operator nach unten beschränkt sein muss. Dieses Argument stammt von
W. Pauli, Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der Physik (S. Flügge, Hrsg.), Bd. V/ 1, S. 60, Springer, Berlin 1958.
Englische Übersetzung: Die allgemeinen Prinzipien der Quantenmechanik, S. 63, Springer, Berlin 1980.

Zeitmessungen benötigen keinen Zeitoperator, werden aber gut durch ein positives Operatorwertmaß (POVM) für die zeitbeobachtbaren Modellierungseigenschaften der Messuhr erfasst.

Das Problem der Erweiterung der Hamiltonschen Mechanik um einen Zeitoperator und die Interpretation einer Zeit-Energie-Unbestimmtheitsbeziehung, die erstmals (ohne klare formale Diskussion) in den frühen Tagen der Quantenmechanik postuliert wurde, hat eine große zugehörige Literatur; ein Übersichtsartikel von Busch
http://lanl.arxiv.org/abs/quant-ph/0105049
überprüft sorgfältig die Literatur bis zum Jahr 2000. (Das Buch, in dem Buschs Übersicht erschienen ist, diskutiert verwandte Themen.) Es gibt keinen natürlichen Operator Lösung in einer Hilbertraumeinstellung, wie das oben erwähnte Argument von Pauli zeigt.

Allerdings wurde im Kontext der statistischen Mechanik von Gilmore eine wohldefinierte Zeit-Energie-Unschärferelation, die der von Heisenberg ähnelt, rigoros etabliert, siehe
http://einstein.physics.drexel.edu/~bob/Thermodynamics/p1985_3237_1.pdf

Das alles hat überhaupt nichts mit einer kurzzeitigen Energieerzeugung aus dem Vakuum zu tun. Letzteres ist eine beliebte Fehlinterpretation dieser Beziehung. Siehe die Diskussion in Erzeugung von Teilchen-Anti-Teilchen-Paaren .

Die HUP nimmt eine rigorose Position in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie ein. Es erscheint dort, wo der Kommutator zweier Observablen nicht Null ist, was eine mathematische Beziehung ist, die den Eigenzuständen des Systems auferlegt wird. Der Absatz zur Matrixmechanik im Link beschreibt es. Der Absatz zur Wellenmechanik in diesem Eintrag . ist vielleicht einfacher zu verstehen. Die Diskussion dreht sich um die Ungewissheit der Impulsposition, aber sie gilt auch für Zeit und Energie. Es beschreibt, wie aus den quantenmechanischen Wellenfunktionen eine Standardabweichung definiert werden kann.

Die Werte von E und t sind Erwartungswerte der Eigenzustände, sei es eines Vakuumzustands oder eines Lochhorizonts. dh es existiert eine Wellenfunktion, auf der der Erwartungswert berechnet und dafür eine Standardabweichung für E und t definiert werden kann.

Wenn ich das richtig verstehe, ist die Ähnlichkeit zwischen Impuls-Positions-Unsicherheit und Energie-Zeit-Unsicherheit nicht so einfach. Das liegt daran, dass Zeit kein Operator wie Momentum oder Position ist. Es ist ein externer Parameter. Eine Standardabweichung für t macht also keinen Sinn. Weshalb man interpretieren muss, was man darunter versteht Δ T in der Unschärferelation. Interpretationen ähnlich der, auf die ich mich bezogen habe, sind die einzigen, die ich gesehen habe, die für mich vernünftig klingen. Aber ich verstehe nicht, wie das mit dem zusammenhängt, was ich im zweiten Absatz erwähne. Danke.
Da hast du ganz recht T wird normalerweise nicht als Operator behandelt, daher gibt es keine direkte Analogie zwischen den beiden Formen des HUP. Im Laufe der Jahre habe ich viele Artikel zu diesem Thema gesehen, aber ich glaube nicht, dass es eine Erklärung gibt, die Ihre „Oh ja, natürlich“-Detektoren auslöst. Die meisten von uns zucken nur mit den Schultern und akzeptieren, dass es funktioniert.
Sie sind sich nicht sicher, was Sie mit "der zweiten Beziehung" meinen: Wie Sie geschrieben haben, handelt es sich um eine algebraische Manipulation, bei der die Ungleichungen beibehalten werden. Wenn Sie meinen, wie Teilchen im Delta (E) vermutet werden können, ist dies eine andere Geschichte und hat mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in der Quantenfeldtheorie zu tun. Das Delta(E) sagt nur, dass es eine ungewisse Energie gibt, QFT erzeugt Teilchenpaare innerhalb dieser Ungewissheit.
Fortsetzung: Dass diese virtuellen Teilchen "real" sind, ergibt sich aus der experimentellen Überprüfung von Größen, die durch QFT berechnet wurden.
@annv, ich verstehe, wie Partikel erzeugt werden. Meine Frage bezieht sich auf Δ E selbst. Ich habe ähnlich aussehende Beziehungen im ersten und im zweiten Absatz. Aber die Interpretation für Δ T im ersten ganz anders als im zweiten - zumindest auf den ersten blick. Ich frage mich im Grunde, wie sie in Einklang gebracht werden können. Danke.
lss.fnal.gov/archive/other/ift-p-036-93.pdf ist das Papier in adsabs.harvard.edu/abs/1994PhRvA..50..933K . Dies ist eine vernünftige Lösung für das Problem, das sich aus der Art und Weise ergibt, wie man Zeit definiert.
Fragst du nach der Verhältnismäßigkeit statt nach der Ungleichheit? Ich würde es als eine schlampige Handbewegung betrachten, es sei denn, hbar wurde auf 1 gesetzt. Man muss auf Skalen von hbar sprechen, damit die Quantenmechanik Sinn macht
Ich denke, dass es nicht notwendig ist, sich die Delta-Intervalle immer als Standardabweichungen von einer gaußschen/statistischen Anpassung vorzustellen. Das kann der von der entsprechenden Wellenfunktion abgeleitete Erwartungswert sein, es kann auch ein beliebiges Intervall sein, wie in der Mathematik. Die Gaußsche oder Wellenfunktion angesichts des Problems kann eine bessere Schätzung sein, aber ein einfaches Delta (Variable) reicht für HUP, imo.
Ich muss zugeben, dass mich die energie-/zeitbasierten Erklärungen von HR sehr verwirren. Für einen allgemeinen Zustand würde ich damit beginnen, die Zeit "Breite" der Vakuumpersistenzamplitude zu betrachten ⟨ Ψ | U ( T ) | Ψ ⟩ , und die Breite des Energiespektrums S ( E ) = | ⟨ E | Ψ ⟩ | 2 , und leiten daraus die Unschärferelation ab. Aber mit HR | Ψ ⟩ ist der Vakuumzustand, hat also eine Energiebreite von Null. Außerdem muss man aufpassen, von welchem ​​Vakuum man spricht. Der Bogoliubov tr. basierte Erklärungen lösen dies zufriedenstellend, aber die ET-basierten Erklärungen lassen mich verwirrt zurück.
Entschuldigung, im letzten Kommentar hätte "Vakuumpersistenzamplitude" nur "Persistenzamplitude" lauten sollen. Wenn hier keine Antwort auftaucht, werde ich sie als separate Frage stellen.

Es gibt keine Interpretationsprobleme bzgl Δ E Δ τ Q ≥ H / 4 π . Hier

Δ τ Q ≡ Δ Q ( D ⟨ Q ⟩ D T ) − 1

ist eine charakteristische Zeit für die Variabilität von Phänomenen in diesem Zustand. Beachten Sie, dass Δ τ Q hängt sowohl von der jeweiligen dynamischen Variablen ab Q und dem Zustand, und dass es mit der Zeit variieren kann.

Berücksichtige das Q ist der Projektionsoperator für einen gegebenen Anfangszustand Ψ ( 0 ) . Dann ⟨ Q ⟩ gibt die Überlebenswahrscheinlichkeit des Anfangszustands an. Wenn Sie wissen möchten, wann die Überlebenswahrscheinlichkeit am kürzesten auf die Halbwertszeit sinkt, τ 1 / 2 , ersetzen Sie einfach die Überlebenswahrscheinlichkeit und integrieren Sie den obigen Ausdruck. Das Ergebnis ist

Δ τ 1 / 2 ≥ H 8 Δ E

Das Δ τ 1 / 2 gibt die Halbwertszeit eines instabilen Zustands an Ψ ( 0 ) (zB eines mit einem virtuellen Paar Teilchen-Antiteilchen) mit Energiespreizung Δ E . Aufgrund von Symmetrieüberlegungen ist dies dieselbe Zeitskala für die spontane Erzeugung desselben Paars. Beachten Sie, dass die obige Ungleichung durch angenähert werden kann Δ τ 1 / 2 ∼ 1 / Δ E .

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