Zusammenhang zwischen ΔxΔp≥ℏ2ΔxΔp≥ℏ2\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} und ΔEΔt≥ℏ2ΔEΔt≥ℏ2\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}

Gibt es eine Möglichkeit, die zweite Gleichung aus der ersten abzuleiten? Ich meine, gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Unsicherheitsrelationen?

Δ X Δ P ≥ ℏ 2 Δ E Δ T ≥ ℏ 2

Spezielle Relativität.
@Qmechanic: Ich glaube nicht, dass das ein Duplikat ist. Diese Frage fragt hauptsächlich nach dem Verständnis des letzteren Prinzips und danach, ob es sich wirklich um ein UP handelt usw. Dies fragt nach der Intuition dahinter usw.

Antworten (2)

Die Unschärferelation kann als Ergebnis des Raums angesehen werden X und Schwung P ein Fourier-Transformationspaar sein . Die Freiteilchenwellenfunktion hat, ähnlich wie die Exponentialfunktion e − ich ℏ P X ein Exponential e − ich ℏ E T . Somit könnte man für das Variablenpaar eine ähnliche Unsicherheitsrelation erwarten ( E , T ) . Ein unmittelbares Ergebnis ist, dass die Lösungen mit einer perfekt definierten Energie, Lösungen von H ^ ψ = E ψ stationär sind, dh ihr physikalischer Inhalt ändert sich nicht mit der Zeit.

Das ist allerdings ungenau. Die (minimale) theoretische Unsicherheit zweier beliebiger Variablen kann durch ihren Kommutator ausgedrückt werden (siehe Wiki )

σ A σ B ≥ ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩
Schwierig ist es, einen Operator zu finden, der die Zeit darstellt, da die nicht-relativistische Quantenmechanik die Zeit nur als Parameter behandelt.

Für instabile Zustände gibt es eine Möglichkeit, die Unsicherheit abzuleiten, die Sie wo angeben T ist nicht die Zeit im Allgemeinen, sondern die Lebensdauer des Zustands, was eine Erklärung für die natürliche Breite der Spektrallinien liefert . Die Herleitung (in Kürze) findet sich auf der oben verlinkten Wiki-Seite.

Außerdem gibt es eine quanteninformationstheoretische Interpretation. Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Quantenzustand, der eine einheitliche Zeitentwicklung durchläuft, psi(t) = U(t) psi(0). Sie fragen sich vielleicht, was die beste Schätzung ist, die Sie vom Zeitparameter machen können, indem Sie eine Quantenmessung des Zustands durchführen. Die Antwort wird unter Verwendung der Quanten-Cramer-Rao-Grenze erhalten, die in diesem speziellen Fall zur Zeit-Energie-Ungleichung wird. Siehe zum Beispiel arxiv.org/abs/0804.2981 .

Die spezielle Relativitätstheorie hat vier Vektoren ( Δ T , Δ R ) Und ( E , P ) , also möchten wir, dass es eine direkte Analogie zwischen diesen beiden Unsicherheitsrelationen gibt. Tatsächlich versagt die Analogie, weil die Position ein Operator in der Quantenmechanik ist, die Zeit jedoch nicht. Peierls hat eine schöne Diskussion darüber in Surprises in Theoretical Physics, S. 36-37:

...Zeit ist nicht beobachtbar. Eine Zeitmessung an sich vermittelt keine Informationen über ein physikalisches System, und eine Aussage über eine andere physikalische Größe impliziert normalerweise, dass wir über ihren Wert zu einem bestimmten Zeitpunkt sprechen. Bei einer Erhaltungsgröße, wie der Energie eines isolierten Systems, ergibt das Ergebnis dann auch die Energie zu jedem Zeitpunkt. Landau betonte diesen Punkt gerne, indem er sagte: "Es gibt offensichtlich keine solche Begrenzung - ich kann die Energie messen und auf meine Uhr schauen; dann kenne ich sowohl Energie als auch Zeit!"

Die Energie-Zeit-Unbestimmtheitsrelation hat also eine grundlegend andere Interpretation als die Impuls-Orts-Relation. Es gibt tatsächlich mehrere Möglichkeiten, es zu interpretieren. Eine Interpretation wird in dieser Antwort gegeben . Eine andere ist, dass die Unschärferelation gilt, wenn E ist die Energiemenge, die zu oder von einem System übertragen wird, und T ist der Zeitpunkt, zu dem diese Übertragung stattgefunden hat.

Zusammenhang zwischen ΔxΔp≥ℏ2ΔxΔp≥ℏ2\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} und ΔEΔt≥ℏ2ΔEΔt≥ℏ2\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}
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