Heisenbergsche Unschärferelation und Nullpunktsenergie

Auf meinem Buch steht geschrieben: für ein Teilchen in einem unendlichen quadratischen Brunnen (angenommen 1D und groß A )

Δ X ∼ A → Heisenbergsche Unschärferelation → Δ P Mindest ∼ H 2 π A ( E = P 2 2 M ) → E Mindest ∼ H 2 8 π 2 A 2 M .
Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob die letzte Passage legal ist: Wie ist es möglich, zu prüfen Δ P Mindest Und P das gleiche? Die erste ist die Standardabweichung der aleatorischen Variablen P , während der zweite der physikalische Wert des Impulses ist, also würde ich gerne verstehen, ob es eine andere Möglichkeit gibt, die Nullpunktsenergie eines Systems nur unter Verwendung der Heisenberg-Unschärferelation zu bestimmen.

Δp ist das kleinste messbare Inkrement von p. Der kleinste mathematische Wert von p ist Null, denn p ist p=0, also p+Δp = Δp. In der physikalischen Notation verwendet man das Delta, um zwischen "einem Intervall" und "einer Standardabweichung" zu unterscheiden. für die Standardabweichung verwenden wir dp
@annav Ich glaube nicht, dass das stimmt. Formal ist die Δ P in der Heisenberg-Beziehung ist genau die Standardabweichung. Wenn Sie die Heisenberg-Unsicherheit ableiten, fallen die Standardabweichungen auf X Und P , nicht ihre „kleinsten messbaren Inkremente“.
@JahanClaes Entschuldigung, Sie liegen falsch, es sei denn, Sie haben eine erweiterte Definition der Standardabweichung. Wenn es die Standardabweichung wäre, würde dies bedeuten, dass alle Quantenphänomene nach der Poisson- oder Gaußschen Verteilung zufällig waren. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Quantenphänomene sind Quadrate von Lösungen von Randwertproblemen für die QM-Differentialgleichungen, nicht Gaußsche. Daher verwenden wir in der Physik diese Notation, um Gaußsche von den QM-Verteilungen zu trennen. Tatsächlich gibt das kleinste messbare Inkrement einen Anhaltspunkt für die QM-Verteilungsfunktion.
@annav Es tut mir leid, aber ich habe Recht. Siehe zB Shankar Kapitel 9. Er beweist das für jeden Zustand | ψ ⟩ , können Sie definieren Δ P = ⟨ ψ | P 2 | ψ ⟩ − ⟨ ψ | P | ψ ⟩ 2 Und Δ X ähnlich, und das können Sie dann beweisen Δ P Δ X ≥ ℏ / 2 . Es ist möglich, eine Standardabweichung im QM zu definieren, wie ich gerade gezeigt habe, und es erweist sich als nützlich. Nichts an der Verwendung einer Standardabweichung impliziert, dass eine Verteilung notwendigerweise eine Gaußsche ist; Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung hat eine Standardabweichung.
@annav Ich bin mir nicht einmal sicher, wie Sie ein "kleinstes messbares Inkrement" rigoros definieren könnten. Aber die Heisenberg-Beziehung ist eine präzise mathematische Formel, keine Faustregel, also braucht sie präzise mathematische Definitionen Δ X Und Δ P . Vielleicht gibt es eine andere Definition von Δ P das ergibt auch die Heisenberg-Beziehung, aber ich habe sie nicht gesehen. In allen Standardbehandlungen, die ich gesehen habe Δ P definiert als die Standardabweichung von P .
@annav Siehe auch die Wikipedia-Seite , die die Beziehung in Bezug auf die Standardabweichungen von formuliert X Und P . Außerdem habe ich einen Tippfehler in meinem obigen Kommentar gemacht, aber ich kann diesen Kommentar nicht mehr bearbeiten: Δ P = ⟨ ψ | P 2 | ψ ⟩ − ⟨ ψ | P | ψ ⟩ 2
@JahanClaes Ich bin ein Experimentator, und die Standardabweichung, die wir für Messungen angegeben haben, war in Ihrer Definition die SD des Poisson oder des Gaußschen. Wenn wir von quantenmechanischen Messungen sprechen, haben wir das Δ-Symbol verwendet, um uns von der alltäglichen Verwendung der Standardabweichung in den Messungen abzuheben. Natürlich können Sie wie oben definieren, was mit dem übereinstimmt, was ich sage, außer bei zufälligen (Gaußschen) Messungen hätten wir einen dp.
@annav Aber die Standardabweichung ist eine allgemeine Formel, die für alle Wahrscheinlichkeitsverteilungen gilt, nicht nur für Gauß- oder Poisson-Verteilungen. Und wenn ich sage Δ P , meine ich genau die Standardabweichung einer Reihe von Impulsmessungen an identisch präparierten Systemen. Es ist genau wie jede andere Standardabweichung von jedem anderen Satz von Messungen. Wenn Sie messen P Auf einer Reihe identischer Systeme erhalten Sie eine gewisse Streuung P . Dieser Spread hat eine Standardabweichung, Δ P , was in der Heisenberg-Relation vorkommt.
@annav Hier findet keine Neudefinition der Standardabweichung statt. Ich verwende nur die normale, langweilige, alltägliche Definition der Standardabweichung, auf die sich die Heisenberg-Unsicherheit genau bezieht.

Antworten (2)

Eine Möglichkeit, sich dies vorzustellen, sind Erwartungswerte. Wenn du sagst Δ P , was Sie wirklich meinen, ist die Standardabweichung von P .

Δ P = ⟨ P 2 ⟩ − ⟨ P ⟩ 2
Im Fall des Grundzustands erwarten Sie ⟨ P ⟩ = 0 durch Symmetrie, also haben Sie einfach Δ P = ⟨ P 2 ⟩ . Dann können Sie den Erwartungswert der Energie betrachten,

⟨ E ⟩ = ⟨ P 2 2 M ⟩ = ⟨ P 2 ⟩ 2 M = ( Δ P ) 2 2 M

Bisher war alles, was wir geschrieben haben, genau. Aber wir wollen den minimal möglichen Wert für die Energie finden . Ein kurzer Gedanke sollte Ihnen sagen, dass das Minimum von ⟨ E ⟩ und das Minimum der Energie zusammenfallen. Sie versuchen also, das kleinstmögliche zu finden ⟨ E ⟩ , und nenne das E Mindest . Das heißt, Sie wollen das kleinstmögliche finden Δ P . Aber natürlich weißt du es Δ X ≲ A , also der kleinste Δ P Ist ~ H 2 π A . Wenn Sie das einstecken, erhalten Sie E Mindest .

Ihr Schlüssel ist zu erkennen, dass wenn ⟨ P ⟩ = 0 , dann der Erwartungswert von P 2 ist genau ( Δ P ) 2 . Natürlich sind alles danach nur Annäherungen, aber manchmal funktionieren sie ziemlich gut!

Ok, aber ich verstehe nicht, warum ich setzen sollte E [ P ] = 0
@Landau Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das zu rechtfertigen. Einer ist einfach durch Symmetrie. Da der quadratische Brunnen symmetrisch ist, sollte der Grundzustand haben ⟨ P ⟩ = 0 , da jeder andere Wert von P würde die Symmetrie verletzen. Immerhin, wenn ⟨ P ⟩ im Grundzustand positiv ist, das heißt, es gibt etwas Besonderes an der positiven Richtung, was nicht stimmt: Der quadratische Brunnen sieht in positiver und negativer Richtung gleich aus.
@Landau Eine andere Art zu sagen ist, dass Sie wissen, dass das Teilchen im Grundzustand nirgendwo hingeht : der Erwartungswert von ⟨ X ⟩ ändert sich nicht, sonst wären wir nicht im Grundzustand. Es gibt eine formelle Art, sich zu beziehen ⟨ P ⟩ Und ⟨ X ⟩ , und es gibt genau das, was Sie erwarten würden: D ⟨ X ⟩ / D T = ⟨ P ⟩ / M . Also wenn du sicher gehen willst ⟨ X ⟩ ändert sich nicht, müssen Sie haben ⟨ P ⟩ = 0 .
@Landau Tatsächlich ist es eine allgemein wahre Aussage, die jeder lokalisierte Eigenzustand hat ⟨ P ⟩ = 0 .

Es ist keine strenge Ableitung, sondern eine Schätzung, die zufällig das richtige Ergebnis liefert. Die Grundidee ist, dass die minimal mögliche Ungewissheit des Impulses in der gleichen Größenordnung liegt wie der minimal mögliche Wert des Impulses. Das ist nicht immer wahr, aber es ist oft wahr genug.

Beachten Sie in der Tat, dass das Buch bequem verwendet wird Δ X Δ P ∼ ℏ anstatt Δ X Δ P ∼ ℏ / 2 um das richtige Ergebnis zu bekommen.

Ich halte es nicht für möglich, die Energie nur mit der Unschärferelation abzuleiten. Der HUP ist nur eine Ungleichung, die tatsächlichen Unsicherheiten könnten größer sein als ihre minimal zulässigen Werte. Ganz zu schweigen davon, dass die Unsicherheit in einigen Observablen nicht unbedingt mit ihrem Wert identisch ist.

Heisenbergsche Unschärferelation und Nullpunktsenergie
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