Was ist ΔtΔt\Delta t in der Zeit-Energie-Unschärferelation?

Lassen Sie ein Quantensystem mit Hamiltonian$H$gegeben werden. Angenommen, das System befindet sich in einem reinen Zustand$|\psi(t)\rangle$bestimmt durch die Hamiltonsche Evolution. Für alle beobachtbaren$\Omega$wir verwenden die Abkürzung

Die Zeit-Energie-Unbestimmtheitsbeziehung (und andere zeit-"beobachtbare" Unbestimmtheitsbeziehungen, die konstruiert werden können) hat (erachtet) nicht die gleiche Bedeutung wie kanonische Unbestimmtheitsbeziehungen . Gemeint sind Unsicherheitsrelationen, die aus kanonischen dynamischen Variablen/Observablen (im Hamiltonschen Sinne) wie Ort und Impuls aufgebaut sind, da der Zeitparameter keine Observable und auch kein Operator in QM/QFT-Formalismen ist.

Tatsächlich gibt es verschiedene Ansätze und Interpretationen der Zeit-Energie-Unsicherheit. Zum Beispiel:

1. Energie-Dispersion ($\Delta E$) eines Zustandes und Lebenszeit ($\Delta t$oder$\tau_s$) des Staates selbst.

2. Energieaustausch ($\Delta E$) und Zeitrahmen ($\Delta t$), in denen dies passieren kann.

3. Energiemessung ($\Delta E$) und Zeit ($\Delta t$) braucht es für die Genauigkeit (obwohl dies rigoros bestritten wird, siehe unten )

4. ..andere ähnliche oder spezialisierte Formulierungen der oben genannten

In L. Mandelstam und I. Tamm, „Die Unschärferelation zwischen Energie und Zeit in der nichtrelativistischen Quantenmechanik“, J. Phys (UdSSR) 1945, zeigen sie, wie man zeitbeobachtbare Unschärferelationen für jede Observable ableiten kann$A$mit

Zeit- und Zeit-Energie-Unsicherheit wird in der (Quanten- / gemischten) statistischen Mechanik von Systemen stark verwendet, da sie sich auf Halbwertszeiten und Lebensdauern von Zuständen und Übergängen bezieht (muss einige Referenzen finden).

Eine Analyse verschiedener Formulierungen von Zeit-Energie-Unschärfebeziehungen findet sich in:

Jan Hilgevoord, Die Unschärferelation für Energie und Zeit I

und

Jan Hilgevoord, Die Unschärferelation für Energie und Zeit II

Zusammenfassung:

Die Unschärferelation für Energie und Zeit ist keine kanonische Unschärferelation, da sie nicht auf kanonischen hamiltonschen Variablen basiert/erzeugt wird, sondern die Streuung und Lebensdauer eines Zustands ausdrückt. Es gibt eine Verwirrung einer kartesischen Raumzeit$x, t$(als Parameter verwendet) und kanonischer Ort und Impuls ($q, p$), die Funktionen dieser Parameter sind (in einigen Fällen jedoch einfach, wie z$q=x$)

Die Zeit-Energie-Unbestimmtheitsbeziehung hat eine andere Interpretation und Herleitung als die Unbestimmtheitsbeziehung für nicht pendelnde Operatoren. Versuchen Sie John Baez für eine Erklärung, aber grob gesagt$\delta t$misst die Zeit, die es dauert, bis sich der Erwartungswert eines Operators merklich ändert.

Lassen Sie uns zusätzlich zu der genauen Antwort von Joshphysics eine andere Interpretation erwähnen (diejenige, auf die sich Ben Crowell meiner Meinung nach in seinem Kommentar zu derselben Antwort bezieht).

Es gibt eine Formel aus der zeitabhängigen Störungstheorie, die die Wahrscheinlichkeit eines induzierten Übergangs von einem Anfangszustand angibt$\lvert i \rangle$zu einem Endzustand$\lvert f \rangle$mit Energiedifferenz$\hbar \omega_{if}$. Der Übergang soll durch eine harmonische Störung induziert werden:

Als Funktion von$t$für fest$\omega$, wächst die Wahrscheinlichkeit quadratisch für klein$t$, erreicht sein Maximum bei$t$gegeben von:

Angenommen, ich versuche, einen Übergang zwischen zwei Energieniveaus herbeizuführen$i,f$eines Atoms, indem man ihm Strahlung mit einer bestimmten Frequenz sendet$\omega$. Dann$\Delta t$ist die Ordnung der erforderlichen Dauer der Interaktion, um eine konsistente Wahrscheinlichkeit eines Übergangs zu haben (beachten Sie, dass die obige Formel für$P_{i\to f}$macht Sinn bei$t=t_{\text{max}}$nur wenn$|V _{fi}|\ll \Delta E$).

Anstatt zu fixieren$\omega$, könnten wir uns vorstellen, den Zeitpunkt der Interaktion festzulegen$\Delta t$. Auch hier gilt die obige Formel für$P_{i\to f}$sagt, dass wir eine konsistente Wahrscheinlichkeit haben, dass der Übergang auftritt, wenn$\Delta E \ll \frac{h} {\Delta t}$. Daher, wenn wir bestimmen wollen$E_f -E_i$genau genug durch Variieren$\omega$und um zu sehen, ob der Übergang stattfindet oder nicht, müssen wir einen großen haben$\Delta t$.

Hier betrachte ich den Übergang zwischen zwei unterschiedlichen Ebenen und gehe davon aus, dass das Spektrum im physikalischen Sinne diskret ist, d.h.$|E_f'-E_i-(E_f-E_i)|$für jede andere Ebene$f'$ist viel größer als die experimentelle Unsicherheit auf$\hbar \omega$. Wenn dies nicht der Fall wäre, sollten wir den Übergang nicht zu einem einzelnen Endzustand, sondern zu einer Gruppe in Betracht ziehen$[f]$von Endzuständen. Der richtige Weg dazu ist die Goldene Regel von Fermi, die in jedem guten Buch der Quantenmechanik diskutiert wird (siehe zB Sakurai oder Griffiths , auch zur Herleitung der obigen Formel).

Bisher wurden gute Antworten gegeben. Betrachten wir es aus einer anderen Perspektive:

Stellen Sie sich ganz kurz zwei Elektronen vor, die miteinander wechselwirken. Diese Wechselwirkung findet durch Energieaustausch statt, und sagen wir, das ist eine Menge$\Delta E$. Die Zeit$\Delta T$innerhalb dessen diese Energie zwischen den beiden Elektronen ausgetauscht werden muss, hat eine Grenze und wird durch die Heisenbergsche Unschärferelation diktiert. Je höher die ausgetauschte Energiemenge ist, desto kürzer sollte die Austauschzeit sein. Dafür sorgt die Natur, die Elektronen tun einfach, was sie tun müssen; sie tauschen Energie „nach den Regeln“ aus.

Ebenso trägt ein freies Photon eine Energiemenge$E=hf$. Das hat auch die Bedeutung der Heisenbergschen Unschärferelation, wenn man es in die Form schreibt$E\times T=h$, seit$f=1/T$. Diese Energiemenge wird vom Photon über eine Entfernung von einer Wellenlänge getragen,$\lambda =c/f$, in nicht längerer oder kürzerer Zeit als die Periode seiner Wahrscheinlichkeitswelle. Dies gilt auch, wenn wir während einer Messung mit der Natur interagieren, wie von anderen Befragten erwähnt wurde. Die Natur ist sehr daran interessiert, ihr Handeln zu optimieren, sie ist nicht verschwenderisch. Eine gute Frage ist: Warum ist$h$so klein wie es ist? Was bestimmt seinen Wert? Mir ist keine Einrichtung bekannt, die diese Zahl erzeugt, außer experimentell gemessen.

Die Bedeutung ist ziemlich dieselbe wie bei der Koordinaten-Impuls-Unsicherheit. Zusätzlich zu dem, was Joshphysics geschrieben hat, möchte ich betonen, dass es sich um eine stationäre Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung handelt$\vert \psi \rangle \sim e^{i \frac{E}{\hbar}t}$. Wenn Sie Energie messen möchten, sollten Sie diese Wellenfunktionsentwicklung zeitlich irgendwie verfolgen. Um Energie definitiv zu messen, sollten Sie sie über unendliche Zeit messen. Wenn die Messzeit begrenzt ist, ist die Energie nicht eindeutig.

Technisch ist es komplizierter als normalerweise$\Delta t$ist nicht die Messzeit, sondern die Zeit einiger Prozessergebnisse, die Sie messen. Die Grundidee ist jedoch so einfach.

Hier ist eine andere Interpretation der Beziehung$\Delta t \, \Delta E \ge \frac{\hbar}{2}$.

Sie haben ein klassisches System, das von einem Lagrangian beschrieben wird$L = \dot{q} \, p - H$, wo$H$ist der Hamiltonian, der zeitunabhängig sein soll. Die Aktion des Systems ist

Diese "Herleitung" ist sehr grob und sicherlich nicht streng.

Zusätzlich zu dem, was in @ Michaels Link erwähnt wurde, ist eine der besten Möglichkeiten, darüber nachzudenken, wie folgt:

Je mehr Zeit Sie mit der Messung Ihres Experiments verbringen (also die Standardabweichung kleiner wird), desto genauer werden Sie die Energie dieses Systems messen.

PS Diese Interpretation ist in russischen Lehrbüchern weit verbreitet.