Abschätzung der minimalen Energie mit der Unschärferelation

Ich versuche gerade, ein Problem zu lösen, bei dem es darum geht, die minimale Energie eines Teilchens im Potential abzuschätzen:

v ( X ) = − v 0 A | X |

Ich bin ziemlich verwirrt darüber, wie ich mit dem absoluten Wert im Potenzial umgehen soll. Bisher weiß ich, dass die Gesamtenergie des Teilchens sein wird

E = P 2 2 M − v 0 A | X |

Der Erwartungswert der Energie ist daher

⟨ E ⟩ = ⟨ P 2 ⟩ 2 M − v 0 A ⟨ | X | ⟩

Nun, kann ich die Tatsache verwenden, dass

1 | X | = 1 X 2
und dann ⟨ | X | ⟩ = ⟨ X 2 ⟩ = Δ X ? Dann wissen wir das aus der Unschärferelation Δ P = ℏ / 2 Δ X Und Δ P 2 = ⟨ P 2 ⟩ ( ⟨ P ⟩ = 0 Und ⟨ X ⟩ = 0 in einem minimalen Energiezustand)

Wenn Sie dies wieder in die Energiegleichung einsetzen, erhalten Sie

⟨ E ⟩ = ℏ 2 8 M Δ X 2 − v 0 A Δ X

Wenn ich dies minimiere, bekomme ich

E M ich N = − 2 M v 0 2 A 2 ℏ 2

Jetzt sieht das nicht ganz falsch aus, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich den richtigen Ansatz mit verwendet habe ⟨ | X | ⟩ = ⟨ X 2 ⟩ = Δ X .

Antworten (1)

Nein, das kannst du nicht. Du kannst schreiben | X | = X 2 , und Sie können dann zu gehen ⟨ | X | ⟩ = ⟨ X 2 ⟩ , aber es ist nicht gültig zu sagen ⟨ X 2 ⟩ = ⟨ X 2 ⟩ . Sie können fast jede Wellenfunktion auswählen, ψ ( X ) = π − 1 / 4 e − X 2 / 2 zum Beispiel, und zeigen, dass die beiden nicht gleich sind.

Allgemein, ⟨ F ( X ) ⟩ ≠ F ( ⟨ X ⟩ ) es sei denn F ist linear. Das heißt auch, wenn man den Erwartungswert des Energieoperators nimmt, kann man nicht schreiben 1 ⟨ | X | ⟩ ; Sie müssen es so lassen ⟨ 1 | X | ⟩ .

Obwohl Sie völlig Recht haben, macht six7th (in seinen Worten) eine Schätzung, keine echte Berechnung. Mit Ihren gut ausgedrückten Vorbehalten finde ich die Argumentation gut für die Übung.
Ja, ich habe darüber nachgedacht, aber aus der Frage geht nicht hervor, wie genau eine Schätzung erwartet wird. Außerdem macht es manchmal einen großen Unterschied, zB ist es einfach, einen Staat zu finden ⟨ 1 / | X | ⟩ ist klein aber 1 / ⟨ | X | ⟩ ist nicht definiert.
Sicherlich muss man mit vielleicht schlecht definierten Mengen aufpassen. Aber in Bezug auf die Genauigkeit machen Sie die gleiche Art von Fehler, wenn Sie annehmen Δ P Δ X = ℏ / 2 . Es muss größer sein (am besten gleich). Um den genauen Wert zu kennen, muss man die Wellenfunktion kennen, braucht dann aber nichts zu schätzen, da man sie einfach berechnen kann.
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