Gibt es eine Vorhersage der Quantenmechanik, die so ausgelegt werden könnte, dass sie eine "Energie-Zeit-Unschärferelation" darstellt? [Duplikat]

Zu diesem Thema gibt es eine Arbeit von Aharonov und Bohm aus dem Jahr 1961, in der unter anderem eine charakteristische Zeit definiert wird, in der der Erwartungswert eines Operators signifikant abweicht, gemessen an der anfänglichen Streuung in diesem Operator. Dieses Ergebnis ist im Wesentlichen ein Satz, den wir hier beweisen werden (Satz 2).

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Lassen$\mathcal{S}$sei ein Hilbertraum,$A$ein (beschränkter) hermitescher Operator auf$\mathcal{S}$, Und$\psi$ein Einheitsvektor in$\mathcal{S}$. Durch die Streuung von$A$ $($relativ zum Staat$\psi$$)$wir meinen die Zahl

$$\Delta_\psi A = \left( \left\langle \psi\,\left|\,A^2\,\right|\,\psi \right\rangle - \left\langle \psi\,\left|\,A\,\right|\,\psi\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left( \left\langle \psi\,\left|\,\left(A - \langle \psi\,|\,A\,|\,\psi\rangle I\right)^2\,\right|\,\psi \right\rangle \right)^{{1\over2}}.$$ So ist beispielsweise die Dispersion nichtnegativ und verschwindet genau dann, wenn $\psi$ist ein Eigenvektor von $A$.

Seit$\Delta A$nur eine Zahl ist – und kein hermitescher Operator auf dem Hilbertraum – können wir natürlich keine Beobachtung über machen$\Delta A$. Aber wir können das Nächstbeste tun. Führen Sie zwei Ensembles von Kopien des Systems ein$\mathcal{S}$, jedes Exemplar im Ausgangszustand$\psi$. Lassen Sie ein Instrument nacheinander die Systeme im ersten Ensemble beobachten, via$A$; und ein zweites Instrument für das zweite Ensemble, via$A^2$. Führen Sie schließlich ein drittes Instrument ein, das die ersten beiden Instrumente über einen geeigneten Operator zum "Berechnen" beobachtet$\Delta A$. In diesem Sinne also die Zahl$\Delta A$hat direkte physikalische Bedeutung.

Satz 1. Let$A$Und$B$Sei$($begrenzt$)$Hermitesche Operatoren im Hilbertraum$\mathcal{S}$, Und$\psi$ein Einheitsvektor. Dann

$$\Delta_\psi A \Delta_\psi B \ge {1\over2}\left|\langle \psi\,\left|\,[A, B]\,\right|\,\psi\rangle\right|.$$

Nachweisen. Dies ist die Standard-Unschärferelation für nichtkommutierende Observablen in der Quantenmechanik.

$\tag*{$\square$}$

Aber was ist mit der "Energie-Zeit-Unschärferelation"?

Satz 2. Let$H$sei ein$($begrenzt$)$Hermitescher Operator auf dem Hilbert-Raum$\mathcal{S}$, Und$\psi$ein Einheitsvektor. Satz$P = I - |\psi\rangle\langle\psi|$, der Projektionsoperator orthogonal zu$\psi$, Und$\psi_t = e^{{{-i}\over{\hbar}} Ht\psi}$. Dann für jede Zahl$\Delta t \ge 0$, wir haben

$$\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar \left|\langle \psi_{\Delta t}\, |\, P \,|\, \psi_{\Delta t}\rangle\right|^{{1\over2}}.$$

Nachweisen. Set, für jeden$t \ge 0$,$\alpha(t) = \langle \psi_t \,|\,P\,|\,\psi_t\rangle$. Dann haben wir

$$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| = \left|\left\langle \psi_t\, \left|\, {i\over\hbar} [H, P]\,\right|\, \psi_t\right\rangle\right| = {2\over\hbar} \Delta_{\psi_t} H \Delta_{\psi_t} P,$$ wobei wir im zweiten Schritt Satz 1 verwendet haben. Aber $\Delta_{\psi_t}H = \Delta_\psi H$, Und $$\Delta_{\psi_t} P = \left( \left\langle \psi_t\,\left|\,P^2\,\right|\,\psi_t \right\rangle - \left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle^2 \right)^{{1\over2}} = \left(\alpha - \alpha^2\right)^{1\over2} \le \alpha^{1\over2}.$$ Durch Einsetzen erhalten wir $$\left|{{d\alpha}\over{dt}}\right| \le \left({2\over\hbar}\right) \left(\Delta_\psi H\right) \alpha^{1\over2}.$$ Teilen Sie diese Ungleichung durch $\alpha^{1\over2}$, Integration von $t = 0$Zu $t = \Delta t$, und das verwenden $\alpha(0) = 0$, folgt das Ergebnis.

$\tag*{$\square$}$

Um diesen Satz auf physikalische Probleme anzuwenden, wählen wir für$H$, natürlich der Hamiltonoperator des Systems. Dann$\psi_t$ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung mit initial$(t = 0)$Zustand$\psi$. Weiter,$\Delta_{\psi} H$ist die Energiedispersion relativ zu diesem Anfangszustand. Wir dürfen interpretieren$\left|\left\langle \psi_t\,\left|\,P\,\right|\,\psi_t\right\rangle\right|^{1\over2} = \|P\psi_t\|$als Maß dafür, wie viel der Staat$\psi_t$weicht vom Ausgangszustand ab$\psi$. Somit verschwindet dieser Ausdruck für$t = 0$ $($Wenn$\psi_t = \psi$$)$, und wächst von Null nur so$\psi_t$erwirbt eine Komponente orthogonal zu$\psi$. Das Theorem besagt also ungefähr Folgendes: „Um einen entwickelten Zustand zu erreichen$(\psi_{\Delta t})$deutlich vom Ausgangszustand ab$(\psi)$, müssen Sie ausreichend lange warten$(\Delta t)$, und haben im Ausgangszustand eine ausreichende Streuung$(\Delta_\psi H)$dass das Produkt dieser beiden größer als die Größenordnung von ist$\hbar$." Natürlich macht das Theorem mit diesen Entscheidungen eine überprüfbare Vorhersage der Quantenmechanik, indem geeignete Ensembles verwendet werden, wie zuvor beschrieben.

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Man kann nicht rechtzeitig$\Delta t$, messen die Energie eines Systems innerhalb des Fehlers$\Delta E$es sei denn$\Delta E\Delta t \ge \hbar$.

Ich weiß nicht, was diese Aussage bedeutet, denn ich weiß nicht, welches Experiment in Erwägung gezogen wird. Der Teil „… misst die Energie eines Systems innerhalb des Fehlers …“ legt die Idee nahe, dass Quantensysteme eine gewisse „tatsächliche Energie“ haben. Aber laut Quantenmechanik tun sie das nicht. Was sie "haben", ist ein Strahl in ihrem Hilbert-Zustandsraum, während die Energie ein Operator auf diesem Hilbert-Raum ist. (Vielleicht ist diese Idee ein Überbleibsel aus der klassischen Mechanik, in der Systeme „eine Energie haben“, denn dort ist die Energie eine Funktion des Raums klassischer Zustände.) Außerdem, selbst wenn wir davon ausgehen, dass Quantensysteme eine gewisse wahre Energie haben , ist es nicht klar, wie wir die Information über die Diskrepanz zwischen dieser wahren Energie und unserem gemessenen Wert erlangen sollen.

Auf einem Ensemble von Systemen, alle im Ausgangszustand$\psi$, lass es eine Bestimmung treffen, die rechtzeitig durchgeführt wird$\Delta t$, der Streuung des Hamiltonoperators,$\Delta_\psi H$. Dann$\Delta_\psi H \Delta t \ge \hbar$.$($Siehe früher.$)$

Dies ist als verdeutlichte Version der ersten Aussage gedacht. Nun, so wird behauptet, sei das Experiment mehr oder weniger klar. Aber leider ist diese Aussage falsch. Für fest$\psi$Und$H$, sehe ich kein Hindernis, diese Feststellung in beliebig kurzer Zeit zu treffen$\Delta t$. Wir schalten die Interaktion lediglich ein und dann schnell wieder aus.

Stellen Sie sich ein Ensemble von Systemen vor, die sich alle im Anfangszustand befinden$\psi$, und ein Ensemble von Instrumenten, von denen jedes über den Hamilton-Operator eine Beobachtung an einem entsprechenden System machen wird$H$, rechtzeitig$\Delta t$. Beobachtbar einführen$E$auf dem Instrument Hilbert-Raum, der "dem Ablesen des Instruments" entspricht. Bestimmen Sie die Streuung von$E$,$\Delta E$. Dann$\Delta E \Delta t \ge \hbar$.

Dies ist als zweite mögliche Version der ersten Aussage gedacht. Es ist vielleicht eher im Sinne dieser Aussage, denn jetzt bestimmen wir die Streuung der "Energieablesungen der Instrumente" und nicht der Energie des Systems. Aber auch diese Aussage ist in der Quantenmechanik falsch.

Eine zeitliche Messung der Energie eines Systems$\Delta t$, wird die Energie dieses Systems zumindest um einen Betrag stören$\Delta E$, Wo$\Delta E \Delta t \ge \hbar$.

Ich weiß nicht, was dieses System bedeutet, denn ich weiß nicht, um welches Experiment es sich handelt. Auch hier deutet der Teil über „…die Energie dieses Systems stören…“ darauf hin, dass Systeme in der Quantenmechanik „eine wahre Energie haben“. Aber selbst wenn sie es taten, ist es nicht klar, wie wir das Wissen darüber erlangen sollen, wie sehr diese Energie gestört wurde.

Auf einem Ensemble von Systemen, alle im Ausgangszustand$\psi$, sei eine zeitliche Beobachtung über den Hamilton-Operator jedes Systems gemacht$\Delta t$. Anschliessend sei an dieser Gesamtheit eine Bestimmung der Dispersion im Hamiltonoperator vorgenommen,$\Delta H$.$($Siehe früher.$)$Dann$\Delta H \Delta t \ge \hbar$.

Dies ist als verdeutlichte Version der obigen Aussage gedacht. Nun führen wir eine Energiebeobachtung an jedem System in der Gesamtheit durch und bestimmen dann für die Gesamtheit als Ganzes ihre Hamilton-Dispersion. Die Idee ist, dass diese "spätere Hamilton-Streuung" aufgrund der früheren Beobachtung über den Hamilton-Operator zur Zeit mindestens so groß sein wird$\Delta t$. Aber diese letzte Aussage ist falsch. Angenommen, der Anfangszustand$\psi$waren ein Hamiltonscher Eigenzustand. Dann würde das Ergebnis der ersten Beobachtung jedes System in diesem Eigenzustand belassen; woher die Bestimmung von$\Delta H$würde null ergeben. Damit würden wir in diesem Fall eindeutig gegen die obige Behauptung verstoßen.

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Ich weiß nicht, ob es Aussagen gibt, die sowohl sinnvoll als auch wahr sind, wie oben. Aber es scheint mindestens eine Aussage zu geben, die die „Energie-Zeit-Unsicherheit“ widerzuspiegeln scheint, nämlich Theorem 2.

Ein weiterer relevanter Artikel ist der von Sorkin$($Grundlagen der Physik, 9, 123$($1979$)$$)$. Es stimmt zwar, dass man die Wellenfunktion zeit-Fourier-transformieren kann und dadurch eine "Unschärferelation" zwischen herleiten kann$\Delta t$Und$\Delta \omega$ $($Frequenz$)$, es ist nicht klar, was das physikalisch bedeutet. Ich konnte sehen, wie jemand das alte Einstein-Bohr-Argument zitierte, insbesondere das Beispiel der an einer Feder hängenden Kiste, die unter der Kontrolle eines Verschlusses ein Photon emittiert, aber ich habe nie wirklich verstanden, worum es in dieser Debatte ging.

Ok, das Energie-Zeit „Unsicherheitsprinzip“ wird oft falsch dargestellt, aber es bedeutet etwas .

In$\Delta t \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}$Die$\Delta t$stellt die Zeit dar, die benötigt wird, bis sich der Energieerwartungswert um eine Standardabweichung ändert. Es stellt keine Messung dar.

Hinweis: Dies wird in Griffiths „Quantum Mechanics“-Text erklärt. Ich habe mir auch gerade meine Notizen zu diesem speziellen Thema angesehen und kann die Ableitung später bearbeiten. Es ist nur von der generischen Unschärferelation abgeleitet.

Die Zeit ist kein Operator, sondern diese Art der Unschärferelation unterscheidet sich von der üblichen Form, an der Operatoren beteiligt sind. (Es gibt jedoch Versuche, Zeit als Operator in Zeitankunftsproblemen zu definieren). In der Kernphysik kennen wir uns jedoch gut mit instabilen (radioaktiven) Kernen aus. Die instabilen Kerne sind sogenannte Resonanzzustände, und die Energie solcher Zustände ist nicht wohldefiniert, sie hat eine Breite$\Gamma$. Da diese Zustände zerfallen, haben sie auch eine sogenannte Halbwertszeit . Tatsächlich gehorchen diese beiden Größen der Unschärferelation über Zeit und Energie,$\Gamma \cdot \tau_{1/2}$liegt in der Größenordnung von$\hbar$. Es ist nicht genau$\hbar/2$es sei denn, wir passen uns an$\tau_{1/2}$durch eine multiplikative Konstante, um eine geeignete zu erhalten$\Delta t$um zu erhalten$\hbar/2$.

Jetzt,$\Delta E$stellt keine zeitliche Variation der Energie dar, wenn die Energie undefiniert ist, bedeutet das nicht, dass sie zeitlich variiert, sondern dass sich das System nicht in einem Eigenzustand des Hamilton-Operators befindet.