Gibt es einen tatsächlichen Beweis für das Energie-Zeit-Unsicherheitsprinzip?

Soweit ich weiß, kann das Energie-Zeit-Unschärfeprinzip nicht aus der verallgemeinerten Unschärferelation abgeleitet werden. Dies liegt daran, dass die Zeit eine dynamische Variable ist und nicht im gleichen Sinne eine beobachtbare Dynamik.
Jedes QM-Buch für Studenten, das mir begegnet ist, hat einen sehr groben "Beweis" für die Zeit-Energie-Unbestimmtheitsbeziehung geliefert, aber nicht etwas, das streng ist, oder etwas, das auch nur entfernt nahe daran ist, streng zu sein.
Also gibt es dafür einen wirklichen Beweis? Wenn ja, könnte mir bitte jemand einen Link dazu geben oder mir sogar einen Beweis liefern? Denken Sie daran, dass ich keinen Beweis mit quantenmechanischen Prinzipien suche, wie die Kommentare unten zeigen.

BEARBEITEN: Alle Beweise, die ich gefunden habe, nehmen die verallgemeinerte Unschärferelation und sagen "let Δ τ = σ q / | d q / d t | ", vgl. z. B. diesen Phys.SE-Beitrag. Aber das reicht mir nicht als strenger Beweis. Die Leute geben diesem Δτ eine genaue Bedeutung, aber die Beziehung wird nur durch die Definition von Δτ bewiesen, also suche ich nur nach einem Beweis ( wenn es einen gibt), der diese Bedeutung durch Mathematik zeigt. Wenn es keinen besseren Beweis gibt, soll es so sein. Dann werde ich nur mit dem Beweis zufrieden sein, durch den wir diese Größe definieren. Indem wir sie auf diese Weise definieren, gibt es Raum für Interpretationen , und dies zeigt sich an der vielfältigen Bedeutung, die Forscher dieser Größe gegeben haben (natürlich alles Zeit betreffend).

Die Mathematiker nennen es Cauchy-Schwarz, glaube ich, zumindest lässt es sich daraus ableiten: physical.stackexchange.com/q/24116 . Wenn Sie einen Kurs über Funktionsanalyse belegen, wird dieser als „Einführungsmaterial“ angesehen. Verwechseln Sie Physik nicht mit Mathematik.
@CuriousOne Ich weiß, dass man mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung das verallgemeinerte Unsicherheitsprinzip ableiten kann, aber da die Zeit eine dynamische Variable ist (man kann ihren Kommutator nicht mit dem Hamiltonian berechnen), kann ich nicht sehen, wie man die Zeit ableiten kann -Energieunschärferelation aus der verallgemeinerten Unschärferelation. Alle Bücher (und bereitgestellten Links) leiten es einfach ab, indem sie sagen: "let Δτ=σq/|dq/dt|" aber das befriedigt mich nicht.
Hier kommt mein Kommentar "Verwechseln Sie Mathematik nicht mit Physik" ins Spiel. Diese Beziehung gilt unabhängig von der Quantennatur Ihrer Funktionen. Es wurde viele Male in den WIFI-Algorithmen verwendet, die in Ihr Mobiltelefon integriert sind. Aus der Quantentheorie kann man nichts ableiten, was keine Quantisierung erfordert.
@CuriousOne, aber ist es nicht aus der Wellenmechanik oder vielleicht der Fourier-Analyse ableitbar? Wenn ich gesagt/impliziert habe, dass es aus der Quantenmechanik ableitbar sein muss, dann habe ich mich geirrt.
Ich glaube nicht, dass es einen gibt, genau aus dem Grund, den Sie sagen. In der Energie-Zeit "Unsicherheitsprinzip" ist diese Interpretation von Δ τ Sie in Ihrer letzten Zeile schreiben, ist so gut wie es nur geht, soweit ich das beurteilen kann: Es ist nur ein vages Maß für die Zeit, in der sich die Erwartung einer Observable merklich ändert. Ich wünschte, die Leute würden nicht versuchen, es als dasselbe Phänomen wie die Heisenberg-Ungleichung auszugeben, die, es sei denn, jemand kann uns eine Varianz einer beobachtbaren Interpretation dafür zeigen Δ τ , ist ganz entschieden ein anderes Prinzip und Argument.
An dieser Stelle verstehe ich deine Frage wirklich nicht. Cauchy-Schwarz ist eine sehr allgemeine Aussage über Vektoren, für die ein inneres Produkt existiert. Dies kann auf Funktionenräume, lineare Operatoren usw. übertragen werden. Das ist alles. Hier gibt es keine Physik, weil es keine andere physikalische Motivation hat, als dass Zeitreihen als Vektoren betrachtet werden können und es einen dualen Raum mit vernünftigen Eigenschaften gibt.
@CuriousOne Ich verstehe Ihren Standpunkt vollkommen, aber wird die CS-Ungleichung nicht verwendet, um die verallgemeinerte Unsicherheitsrelation abzuleiten? Aber kein Buch kann die Zeit-Energie-Unschärfe rigoros (nicht mit der Strenge eines Mathematikers) aus der verallgemeinerten Unschärferelation ableiten. Die CS-Ungleichung wird für die Ableitung der verallgemeinerten Unschärferelation verwendet und ich bin mit diesem Beweis einverstanden. Aber wenn wir mit diesem Beweis fertig sind und daraus die Zeit-Energie-Unschärferelation ableiten wollen, bin ich damit nicht zufrieden (die zweite Ableitung). Ich hoffe, ich habe dich nicht weiter verwirrt!
Was meinst du mit deiner Bearbeitung, dass "das für mich nicht als Beweis ausreicht". Sie definieren Δ t (weil es, wie Sie sagen, nicht wie das andere definiert werden kann Δ EIN ist wo EIN ein Operator ist, also müssen wir etwas anderes machen) und dann die Beziehung beweisen. Dass Sie persönlich mit dieser Wahl unzufrieden sind Δ t hat keinen Einfluss auf die Richtigkeit des Beweises.
@CuriousOne Aber nur eine Menge zu definieren, die die Zeiteinheiten als Δτ hat, und dann unsere eigene Definition zu geben, macht es zu dem, was wir sagen? Mein Problem ist, dass dieser Beweis ihm nicht die genaue Bedeutung gibt, die die meisten Leute sagen. Also bitte ich um einen Beweis, der tatsächlich durch die Mathematik die Bedeutung zeigt, die die Leute sagen, dass sie hat
Siehe Joshs Antwort auf Was ist ΔtΔt in der Zeit-Energie-Unschärferelation? für eine entsprechende Diskussion.
Eine alternative Denkweise Δ E Δ t wäre zu überlegen Δ p Δ x wo p und x sind Bestandteile des 4-Impulses und der 4-Position. Dann fällt das einfach raus Δ E Δ t ist einfach die zeitliche Komponente. Keine Ahnung, wie streng das ist, also nicht als Antwort gepostet

Antworten (3)

Das Hauptproblem ist, wie Sie sagen, dass Zeit kein Operator in der Quantenmechanik ist. Daher gibt es keinen Erwartungswert und keine Varianz, was impliziert, dass Sie angeben müssen, was Δ t soll heißen, bevor man sowas schreiben kann Δ E Δ t ≥ ℏ oder ähnliches.

Sobald Sie definieren, was Sie damit meinen Δ t , können Relationen, die Unsicherheitsrelationen ähneln, mit aller mathematischen Strenge abgeleitet werden, die Sie wollen. Die Definition von Δ t muss natürlich aus der Physik kommen.

Meistens sehen die Leute es natürlich Δ t nicht als Unsicherheit, sondern als eine Art Dauer (siehe zum Beispiel die berühmten natürlichen Linienbreiten, für die es sicher strenge Ableitungen gibt). Sie können beispielsweise folgende Fragen stellen:

  • Gegeben sei ein Signal zeitlicher Länge t (es braucht t von "kein Signal" bis "Signal ist vollständig angekommen"), wie groß ist die Varianz von Energie/Impuls? Dies lässt sich auf die übliche Unschärferelation abbilden, da die zeitliche Länge nur eine Streuung im Ortsraum ist. Es hängt auch mit der sogenannten Hardy-Unschärferelation zusammen , die nur die verkleidete und völlig strenge Fourier-Unschärferelation ist.

  • Wenn Sie eine Energiemessung durchführen, können Sie die Dauer der Messung und die Energieunsicherheit der Messung in Beziehung setzen? Dies ist höchst problematisch (siehe z. B. die Übersicht hier: Die Zeit-Energie-Unschärferelation . Wenn Sie ein Messmodell auswählen, können Sie wahrscheinlich strenge Grenzen ableiten, aber ich glaube nicht, dass eine strenge Grenze wirklich hilfreich sein wird, da wahrscheinlich kein Messmodell vorhanden ist fängt alles ein, was in Experimenten möglich ist.

  • Sie können die gleiche Frage zu Vorbereitungszeit und Energieunsicherheit stellen (siehe Übersicht).

  • Sie können fragen: einen Zustand gegeben | ψ ⟩ , wie lange dauert es, bis sich ein Zustand in einen orthogonalen Zustand entwickelt? Es stellt sich heraus, dass es eine Unbestimmtheitsbeziehung zwischen Energie (aus dem Hamilton-Operator der Zeitentwicklung) und der Dauer gibt – dies ist die Mandelstamm-Tamm-Beziehung, auf die in der anderen Frage Bezug genommen wird. Diese Beziehung kann rigoros gemacht werden ( dieses Papier hier könnte eine solch rigorose Ableitung geben, aber ich kann nicht darauf zugreifen).

  • weitere Ideen (siehe auch Review)...

Mit anderen Worten: Du musst mir erst was sagen Δ t soll bedeuten. Dann musst du mir was sagen Δ E soll bedeuten (man könnte argumentieren, dass dies in der Quantenmechanik klar ist). Erst dann kann man sinnvoll die Frage nach einer Ableitung einer Energie-Zeit-Unschärferelation stellen. Das verallgemeinerte Unsicherheitsprinzip tut genau das, es sagt Ihnen, dass die Δ Mengen sind Varianzen von Operatoren, also haben Sie eine klar definierte Frage. Die Bücher, die Sie gerade lesen, scheinen nur physikalische Heuristiken dessen zu bieten, was Δ t und Δ E Mittelwert unter besonderen Umständen - daher ist eine mathematisch strenge Ableitung nicht möglich. Das ist an sich jedoch kein Problem, da Heuristiken sehr leistungsfähig sein können.

Ich bin dafür, strenge Beweise zu verlangen, bei denen die zugrunde liegende Frage streng gestellt werden kann, aber ich bezweifle, dass dies hier für eine allgemein gültige Unschärferelation der Fall ist, weil ich bezweifle, dass es eine allgemein gültige Definition von gibt Δ t kann gegeben werden.

Ich denke, dass diese Frage die Essenz dessen enthält, was ich frage! Die Tatsache, dass wir im Standard-„Beweis“ Δτ definieren, lässt Raum für Interpretationen wie die, die Sie vorgestellt haben. Ist das nicht im Wesentlichen Ihre Antwort? Dass ich Ihnen genau sagen muss, was Δτ bedeutet, um zu versuchen, es abzuleiten?
Ja. Und ich wollte noch zwei Dinge vermitteln: (i) In bestimmten Fällen wissen wir was Δ τ ist und kann daher strenge Grenzen wie die Mandelstam-Tamm-Ungleichung ableiten; (ii) Im Allgemeinen bezweifle ich, dass dies wahr ist, dh ich glaube nicht, dass wir einfach eine Definition geben können, die für die gesamte Quantenmechanik gilt und immer eine Unschärferelation angibt. Eine solche Definition erscheint unphysikalisch, weil so etwas wie „verstrichene Zeit“ immer etwas Willkürliches an sich hat (wann fange ich an zu messen? wann höre ich auf?).

Das ist der Fall. Die Unsicherheitsbeziehung mit Energie und Zeit ist eine Frage der Fourier-Analyse. In der Tat die Beziehung Δ ω Δ t ≃ 1 war in klassischer EM und Elektrotechnik vor der Quantenphysik bekannt. Die Verwendung der Fourier-Analyse in der Elektrotechnik hatte im Wesentlichen die gleiche Unsicherheitsbeziehung wie die reziproke Beziehung zwischen Frequenz und Zeit.

Die klassische Mechanik hat Poisson-Klammer-Beziehungen zwischen Impuls und Position, und die Quantenmechanik hat einen Operatorersatz dafür

{ q , p } = 1   →   [ q , p ] = ich ℏ .
Zwischen Zeit und Energie gibt es in der Hamiltonschen Mechanik keine Poisson-Klammer. In der Quantenmechanik gibt es folglich, wenn man das Wort informell verwendet, keinen Zeitoperator. Dies führt zu einigen interessanten Komplexitäten mit relativistischer Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie.

Die Quantenmechanik ist eine Wellenmechanik, und die Fourier-analytische Grundlage für die Zeit-Energie-Unsicherheit ist "gut genug", um sie zu akzeptieren. Die physikalische Grundlage für die Energie=Zeit-Unsicherheit ist stark genug, um akzeptiert zu werden. Wir haben nur eine unterscheidbare Situation zwischen Raum und Impuls vs. Zeit und Energie. In gewissem Sinne ist dies ein Zeichen, das der Einsteinschen Idee widerspricht.

Aber gibt es einen wirklichen Beweis? Eine strengere (nicht die Art von Mathematiker)?
@QuanticMan, das klingt, als wollten Sie dokumentierte Beobachtungen. Ein Beweis (in diesem Zusammenhang) ist per Definition mathematisch. Außerhalb dessen wird nichts bewiesen, nur theoretisiert und beobachtet, um der Theorie zu entsprechen.
Ich spreche von mathematischen Beweisen

Kurze Antwort: Ortsimpulsunsicherheit besteht, weil ihre Operatoren nicht pendeln. Ebenso pendeln die Zeit- und Energieoperatoren nicht.

Längere Antwort: Erstens: Physik ist eine empirische Wissenschaft, also muss "Beweis" ein Experiment sein. Manchmal sind Gedankenexperimente erlaubt, weil sie zum Erstellen und Testen von Modellen nützlich sind. Mathematische Beweise sind keine physikalischen Beweise.

Die Synthese in der Physik beinhaltet das Erstellen von Modellen (normalerweise mathematische Modelle), um beobachtetes Verhalten zu erklären. Im QM sind diese Denkgebäude schon recht weit fortgeschritten.

Im Zusammenhang mit diesen mathematischen Modellen für QM würde ich Folgendes anmerken:

1) Der „Zustand“ eines QM-Systems wird durch eine „Wellenfunktion“, \psi, dargestellt, deren Amplitude Aufschluss über die erwarteten Ergebnisse von Experimenten gibt.

2) Verschiedene Beobachtungen werden als Operatoren auf Wellenfunktionen angesehen. Position ist beispielsweise der Operator "x". Interessanterweise wurde beim Erstellen der Modelle Impuls als "\partial / \partial \Vec(x)" - dh Gradient - interpretiert. Wieso den? gut, weil es beobachtete Experimente erklärt. (wieder - der Standard für "Wahrheit" oder "Beweis" oder Ableitung in der Physik)

3) Die Vorhersage von Messungen von Observablen ist eine Funktion, die auf die Wellenfunktion und den Operator einwirkt. So ist zum Beispiel die Erwartung der Messposition <\psi|x|\psi> (unter Verwendung der Klammernotation)

4) Orts-Impuls-Unschärferelation: Beachten Sie den Impulsoperator, P=\partial/\partial \vec(x) pendelt nicht mit dem Ortsoperator. Dh Px <> xP ist tatsächlich der Antikommutator [P,x] \definiert Px - xP = 1 ( wenn man anmerkt, dass ich Einheiten verwendet habe, bei denen h-bar = 1 ) Denken Sie daran, P und x als Operatoren zu betrachten und anzuwenden Kettenregel zur Differenzierung. Diese Antikommutierung der Operatoren ist in den konstruierten Modellen zur QM die Quelle der Unschärferelation. Dh nicht alle Betreiber pendeln.

5) Betrachten Sie nun Zeit und Energie. Um beobachtet zu werden, müssen beide als auf Wellenfunktionen wirkende Operatoren gecastet werden. Was sind die Operatoren für Zeit und Energie? - einfach. Der Zeitoperator ist nur eine Multiplikation mit t. Der Energieoperator ist E\ definiert \partial / \partial t. --- Sehen Sie, wie die Energie-Zeit-Unschärferelation wie die Positions-Impuls-Unschärferelation aussieht?

QED Nun, so nah wie QED für die Physik sinnvoll ist, da Physik <> Mathematik. Der eigentliche Schmelztiegel besteht darin, wie diese Vorhersage aus dem mathematischen Modell, das für QM verwendet wird, vorhersagt und mit dem Experiment übereinstimmt. Und das tut es – sehr gut.

Kommentare:

A. In diesem Sinne beweisen wir die Et-Unsicherheit nicht aus der xP-Unsicherheit, sondern verwenden die mathematische Architektur, die für QM im Allgemeinen entwickelt wurde.

B. Zeitlich eine dynamische Variable ist und ist kein Problem. Wenn Sie Zeit messen möchten, müssen Sie dafür einen Operator definieren. In diesem Sinne ist es nicht anders als das Messen von Position oder Spin oder Ladung oder ...

C. Die Zeit als „besondere“ dynamische Variable kann entfernt werden, indem man einen Langrangschen Standpunkt einnimmt, aber das ist eine andere Diskussion, die den Feynman-Pfad hinunterführt.

D. Die Et-Unschärferelation fällt ganz natürlich aus einem relativistischen Ansatz heraus. Wenn aus 3-Vektoren 4-Vektoren werden, sollte man besser tE Unsicherheit haben, sonst wird Heisenberg ziemlich sauer. In diesem Sinne könnte man also die Et-Unsicherheit aus der xP-Unsicherheit "ableiten", indem man gutes Verhalten unter relativistischen Überlegungen fordert, aber meiner Meinung nach ist es ein grundlegenderer Ansatz, nur zu bemerken, dass Bediener nicht pendeln. (Eindeutig ein persönliches intellektuell-ästhetisches Urteil, aber ich denke, dass es von vielen geteilt wird.)

Im ersten Absatz geraten Sie tatsächlich in Schwierigkeiten, weil weder Zeit noch das Übliche vorhanden sind E ^ = ich ℏ ∂ ∂ t sind formal Operatoren im QM. Siehe physical.stackexchange.com/questions/53802/… physical.stackexchange.com/questions/220697/… physical.stackexchange.com/questions/17477/… und viele Links darin.
Gibt es einen tatsächlichen Beweis für das Energie-Zeit-Unsicherheitsprinzip?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v