Energiefluss aufgrund von Diffusion

Question

Energiefluss aufgrund von Diffusion

Physik
Diffusion
Thermodynamik
Chemisches Potential

Benutzer1476176

Gemäß der fundamentalen thermodynamischen Beziehung weiß ich, dass das chemische Potenzial von $i$ stellt die Energie dar, die einem System hinzugefügt würde, wenn ein Teilchen von $i$ wurden hinzugefügt, wobei alle anderen Systemeigenschaften konstant gehalten wurden. Nach dieser Definition ist der momentane Energiefluss aufgrund von Diffusion von $i$ sollte sein

{\vec{J}}_{ich} μ_{ich}

$\vec{j}_i \mu_i$

Wo $\vec{j}_i$ ist der Massenfluss von Arten $i$ . Dies bedeutet, dass der momentane Energiefluss aufgrund aller Diffusion sein sollte

\sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} μ_{ich}

$\sum_i \vec{j}_i \mu_i$

Ich habe eine Quelle gefunden [ https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/367674.pdf Gleichung 12], die darauf hindeutet, dass der Energiefluss auf Diffusion zurückzuführen ist

\sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} H_{ich}

$\sum_i \vec{j}_i h_i$

Dies stimmt mit dem bekannten Ausdruck für den Energiefluss aufgrund des Massentransports überein, aber nicht mit meinem ersten Ausdruck. ich weiß, dass $\mu$ Und $h$ verbunden sind durch

μ_{ich} = G_{ich} = H_{ich} - T S_{ich}

$\mu_i = g_i = h_i - Ts_i$

aber ich sehe nicht wie ich das machen soll $T s_i$ Term aufheben, um den zweiten Ausdruck aus dem ersten zu extrahieren. Es scheint, dass dies erforderlich wäre

\sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} S_{ich} = 0

$\sum_i \vec{j}_i s_i = 0$

und dass dies nicht allgemein gelten kann. Dies bringt die "allgemeine" Formel aus meiner Quelle anscheinend in Widerspruch zu meiner Interpretation der "allgemeinen" fundamentalen thermodynamischen Beziehung. Welche Quelle oder Annahme ist falsch?

Hinweis: Mir ist klar, dass die von mir verlinkte Quelle mehrere andere Quellen zitiert. Ich werde sie konsultieren, wenn ich die Möglichkeit habe, in die Bibliothek zu kommen, aber ich befürchte, dass sie die Formel auch als Behauptung und nicht als Ableitung einführen und somit meine Frage nicht beantworten werden.

Hinweis: Ich habe die Möglichkeit in Betracht gezogen, dass hier die Willkür von Bezugszuständen eine Rolle spielt. Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass dies nicht der Fall ist: $\mu$ , $h$ , Und $s$ sind nur bis auf eine additive Konstante und beliebig $\sum_i \vec{j}_i = 0$ , also ergibt die Summierung der willkürlichen Konstante über alle Arten immer 0.

QMechaniker

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Energiefluss aufgrund von Diffusion

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Benutzer1476176 · Answer 1

Diese Frage [ Chemisches Potential in der Thermodynamik ] stellt sich als die meiste Antwort heraus. Es war nicht mit dem Etikett „chemisches Potenzial“ gekennzeichnet, also habe ich es nicht gesehen, als ich danach gefragt habe. Wie auch immer, ich werde es für diese Frage noch einmal formulieren: Das chemische Potenzial ist die Energie, die pro Teilchen hinzugefügt wird, wenn Entropie und Volumen konstant gehalten werden . Die eigentliche Grundgleichung ist

D u = T D S - P D v + \sum_{ich} μ_{ich} D j_{ich}

$du = T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i$

Für einen Prozess mit konstantem Volumen und Diffusionsfluss $\vec{j}$ , die Masse, die die Grenze überschreitet, verursacht eine Änderung in $y_i$ und hinein $s$ - Letzteres, weil es Entropie mit sich führt. Die Gesamtenergieänderung aufgrund von Diffusion ist dann

\begin{aligned} D u & = T D S - P D v + \sum_{ich} μ_{ich} D j_{ich} \\ \frac{D u}{D T} & = T \frac{D S}{D T} - P \frac{D v}{D T} + \sum_{ich} μ_{ich} \frac{D j_{ich}}{D T} \\ \frac{D u}{D T} & = T \sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} S_{ich} - 0 + \sum_{ich} μ_{ich} {\vec{J}}_{ich} \\ = T \sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} S_{ich} + \sum_{ich} (H_{ich} - T S_{ich}) {\vec{J}}_{ich} \\ = T \sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} S_{ich} + \sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} H_{ich} - T \sum_{ich} S_{ich} {\vec{J}}_{ich} \\ = \sum_{ich} {\vec{J}}_{ich} H_{ich} \end{aligned}

$\begin{align} du &= T ds - PdV + \sum_i \mu_i dy_i \\ \frac{du}{dt}&= T \frac{ds}{dt} - P \frac{dv}{dt}+\sum_i \mu_i \frac{dy_i}{dt} \\ \frac{du}{dt}&= T \sum_i \vec{j}_i s_i - 0 + \sum_i \mu_i \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \left( h_i -Ts_i \right) \vec{j}_i \\ &= T \sum_i \vec{j}_i s_i + \sum_i \vec{j}_i h_i - T\sum_i s_i \vec{j}_i \\ &= \sum_i \vec{j}_i h_i \end{align}$

Wenn sich das Volumen ändern würde, könnten wir auch die Auswirkungen dieser Änderung auf die Energie des Systems berücksichtigen, aber wir würden diesen zusätzlichen Effekt als Ergebnis mechanischer Arbeit und nicht als Diffusion betrachten. Wir könnten dann die Energieänderung des Systems als die Summe des Diffusionsflusses (oben) und der Grenzarbeit betrachten.

Gott wirkt, indem er eine ausgezeichnete Antwort auf Ihre eigene Frage gibt! Dies ist mehr oder weniger das, was ich gepostet hätte, wenn Sie es nicht getan hätten.

ein großer · Answer 2

Nehmen Sie ein Flächenelement $\mathrm{d}S$ senkrecht zur $x$ -Achse. Wie viel Energie wird hierdurch pro Zeiteinheit transportiert? Nun, die Durchflussrate ist $v_x\mathrm{d}S$ , und die Energiedichte ist $\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon$ , Wo $\varepsilon$ ist innere Energie. Wenn wir diese also multiplizieren, haben wir die Energietransportrate durch $\mathrm{d}S$ , $\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)v_x\mathrm{d}S$ , und schließlich erhalten wir den konvektiven Energiefluss, wenn wir in alle Richtungen schauen (und haben $\mathrm{d}S$ sei die Einheitsfläche):

(\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ ε) v

$\left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v}$

Das ist nicht alles. Was auch passieren kann ist, dass die Flüssigkeit auf der Minusseite abfällt $\mathrm{d}S$ übt eine Kraft aus $\pi_x\mathrm{d}S$ auf der Flüssigkeit auf der Plusseite. Jetzt funktioniert das: $\pi_x\mathrm{d}S \cdot \mathbf{v} = [\pi \cdot \mathbf{v}]_x \mathrm{d}S$ . Verallgemeinernd einzuschließen $y$ Und $z$ Richtungen (und Einheitsfläche) haben wir auch

[π \cdot v]

$[\pi \cdot \mathbf{v}]$

Wenn wir auch den Wärmetransport mit einbeziehen, haben wir den kombinierten Energieflussvektor

e = (\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ ε) v + [π \cdot v] + Q

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho \varepsilon\right)\mathbf{v} + [\pi \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Beachten Sie, dass $[\pi \cdot \mathbf{v}] = p\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}]$ , Und $\rho\varepsilon\mathbf{v} + p\mathbf{v} = \rho\left(\varepsilon + \frac{p}{\rho}\right)\mathbf{v} = \rho h \mathbf{v}$ , dh

e = (\frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ H) v + [τ \cdot v] + Q

$\mathbf{e} = \left(\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho h\right)\mathbf{v} + [\tau \cdot \mathbf{v}] + \mathbf{q}$

Das heißt, es ist tatsächlich die Enthalpie, die ins Bild kommt, $\rho \mathbf{v} h = \mathbf{j} h$ der Fluss sein, der für Ihre Frage relevant ist.

Dies ist der Fluss aufgrund von Massenbewegungen, die meiner Meinung nach Enthalpie beinhalten sollten. Ich frage jedoch nach dem Fluss aufgrund von Diffusion.

Energiefluss aufgrund von Diffusion

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QMechaniker

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ein großer

Benutzer1476176

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