Enge Bindung an der Grenze großer Systemgröße

Angenommen, man hat zum Beispiel einen kontinuierlichen Hamiltonoperator mit Spin-Bahn-Wechselwirkung

$H=-\dfrac{\mathbf{p}^2}{2m} +\kappa({\boldsymbol\sigma}\times\mathbf{p}) + U(x)$

und diesen Hamiltonoperator mit einem fest bindenden diskreten Modell annähern wollen. Dies kann mit der Methode der finiten Differenzen (z. B. Datta, Quantentransport) unter Verwendung der Substitution erfolgen

$(\partial^2_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{a^2}[\psi(x_{n+1}-2\psi(x_n)+\psi(x_{n-1})]$

$(\partial_x \psi)_{x=x_n} \rightarrow \frac1{2a}[\psi(x_{n+1}-\psi(x_{n-1})]$

Nehmen wir nun an, dass man das umgekehrte Problem hat, dh man hat einen eng bindenden Hamiltonoperator und möchte Informationen über das System im kontinuierlichen Limes erhalten. Betrachten Sie nur als Beispiel den eng bindenden Hamilton-Operator

$H=\sum_{i=1}^N\sum_{ss'} \delta_{ss'} [u(r_i)-\mu] a^\dagger_{is} a_{is} + \delta_{ss'} t a^\dagger_{is} a_{i+1,s} + \imath\alpha\sigma^y_{ss'} a^\dagger_{is} a_{i+1,s'} + \text{h.c.}$

Wo$s$Und$t$sind die Spin-Indizes. Dieser Hamiltonoperator ist im allgemeinen Fall nicht analytisch lösbar, da die Parameter und$u(r_i)$kann von den Gitterplätzen abhängen (z. B. kann das System eine oder mehrere Verunreinigungen enthalten).

Allerdings für endlich$N$man kann den Hamiltonoperator im Prinzip immer numerisch diagonalisieren und einige relevante physikalische Größen berechnen, zum Beispiel die Lücke. Ich interessiere mich explizit für Fälle, in denen das Tight-Binding-Modell nur numerisch gelöst werden kann.

Gibt es eine allgemeine Methode, um die kontinuierliche Grenze zu nehmen?$N\rightarrow\infty$Und$Na=\text{constant}$eines allgemeinen diskreten Tight-Binding-Modells? Um Verwirrung zu vermeiden, betone ich, dass mich nicht der Fall interessiert, in dem das System unendlich ist, sondern eher der Grenzfall, in dem das System kontinuierlich ist, dh nicht diskret, sondern von endlicher Größe$L=Na$.

Eine Idee ist, die Spektren und die relevanten physikalischen Größen zur Erhöhung numerisch zu berechnen$N$und mit abnehmendem Gitterparameter$a\rightarrow 0$mit der Einschränkung$Na=\text{constant}$und das asymptotische Verhalten abzuleiten. Da in der stetigen Grenze$t=\hbar^2/(2m a^2)$Und$\alpha=\kappa/(2a)$($\kappa$der SO-Parameter ist), ist dies gleichbedeutend damit, den Grenzwert zu nehmen$N\rightarrow\infty$und nehmen$t\propto N^2$Und$\alpha\propto N$.

Ist dieser Ansatz richtig? Ist es richtig, die Grenze anzunehmen?$N\rightarrow\infty$mit$t\propto N^2$Und$\alpha=\propto N$bei jedem Berechnungsschritt? Gibt es eine Referenz oder ein Buch, in dem die diskrete bis kontinuierliche Grenze diskutiert wird?

Vielen Dank im Voraus.