Entfernung in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Die Eigenzeit einer zeitartigen Kurve ist ihre Länge.

Ich habe ein paar Zeilen über die allgemeine Relativitätstheorie und [... eine Gleichung für] die Eigenzeit einer zeitähnlichen Kurve gelesen.

Ich nehme an, dass sich dies auf eine ähnliche Gleichung bezieht

Wo

• $A$bezeichnet einen bestimmten Teilnehmer ("wesentlicher Punkt", "hauptsächlich identifizierbare Person"),

• die ausgedrückte Menge,$\tau A_J^Q$, kann die Bogenlänge der zeitartigen Kurve genannt werden, die aus Ereignissen besteht, in denen$A$nahm an der Veranstaltung von teil$A$und (ein geeigneter, eindeutiger) Teilnehmer$J$einander getroffen (und unmittelbar anschließend verlassen) haben, bis zum Ereignis von$A$und (ein geeigneter, eindeutiger) Teilnehmer$Q$sich getroffen zu haben (unmittelbar nachdem man sich angenähert hat);
  oder prägnanter (und wohl mehr auf die Physik ausgerichtet)$\tau A_J^Q$kann angerufen werden$A$'s Dauer von angegeben$J$'s Durchgang, bis angegeben$Q$'s Passage,

• $g$heißt metrischer Tensor (des Raum-Zeit-Bereichs$\mathcal S$betrachtet, als Funktion zweier geeigneter zeitartiger Argumente nach der hier dargestellten Vorzeichenkonvention ),

• $\gamma : [0 ... 1] \rightarrow \mathcal S$die betrachtete (durchgängig) zeitartige Kurve mit darstellt

• $\gamma[~0~] = \varepsilon_{AJ}, \qquad \gamma[~1~] = \varepsilon_{AQ},$
  und das Bild der Kurve$\gamma$ist lückenlos und enthält nur Ereignisse, in denen$A$hat teilgenommen,

• $\dot\gamma[~t~]$heißt Tangentenvektor der Kurve$\gamma$, die gekennzeichnet ist durch

• seine Richtung (dh die Äquivalenzklasse aller Kurven, die gerade das Bild der Kurve berühren$\gamma$bei Veranstaltung$\gamma[~t~]$), Und

• mit einer solchen Größe, dass die unten gezeigte endgültige Gleichung erfüllt ist.

Aber Beobachter sollten doch auch Längen messen können, oder?

Nun, es sollte doch möglich sein, auch (durchwegs) raumartigen Kurven Bogenlänge zuzuschreiben. Zumindest formal ist das auch einfach (mit der gleichen Vorzeichenkonvention wie oben):

wo hier die Kurve$\gamma$wird verstanden und muss raumartig sein;
und wie oben sind die Größen anwendbarer Tangentenvektoren nur durch eine unten gezeigte entsprechende endgültige Gleichung gegeben.

die erste gleichung ist diejenige, die [...]

Die beiden oben gezeigten Gleichungen liefern sicherlich keine eigenständigen Definitionen, da sie von geeigneten Zuordnungen für die Beträge von Tangentenvektoren abhängen; möglicherweise im Zusammenhang mit einer bestimmten ("guten", "affinen", "lokal orthonormalen") Zuordnung von Koordinaten.

Definitive sind vielmehr Ausdrücke von Bogenlängen (von raumartigen Kurven bzw. von zeitartigen Kurven) im Hinblick auf Gegebenes

• Entfernungen $d : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$, oder

• Lorentzsche Distanzen $\ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$,

als

Und

Genau wie eine beim Beobachter ruhende ideale Uhr (hier als zeitartige Kurve dargestellt) die Eigenzeit des Beobachters misst, messen ideale beim Beobachter ruhende Lineale die Entfernungen im Ruheraum des Beobachters. Mathematisch werden diese Lineale als orthonormale Basis dargestellt$3$Vektoren senkrecht zur Einheit Tangente Vektor zur zeitartigen Kurve, die den Beobachter beschreibt.

Da sie orthogonal zu diesem zeitartigen Vektor sind, sind sie raumartig und das Lorentzsche Skalarprodukt auf die beschränkt$3$-Raum, der von ihnen aufgespannt wird, ist positiv, dh euklidisch. Darüber hinaus impliziert Orthogonalität, dass die Geschwindigkeit der Lichtstrahlen ist$1$(Ich arbeite mit der Konvention$c=1$), wenn der Beobachter diese Lineale und die mit ihm ruhende ideale Uhr verwendet, um diese Geschwindigkeit zu messen.

Eine interessante Frage betrifft, wie diese Lineale entlang der Kurve transportiert werden. Eine natürliche Wahl ist der parallele Transport. Der Fermi-Walker-Transport ist jedoch auch ein anderer möglicher Weg (beide bewahren Orthogonalität und metrische Eigenschaften und fallen zusammen, wenn die Kurve geodätisch ist).

Alles, was ich geschrieben habe, betrifft den "unendlich kleinen" Ruheraum mit dem Beobachter (dargestellt im Tangentialraum eines von der Kurve gekreuzten Ereignisses). Wenn Sie eine endliche oder globale Vorstellung haben wollen, sollten Sie mehrere Beobachter sammeln: eine glatte Kongruenz von zeitartigen Kurven. A$3$-Mannigfaltigkeit tangiert alle "infinitesimal" Ruheräume der Beobachter ist eine globale$3$-Raum zu gegebener Zeit. Ein glatter Euklidischer$3$-Metrik ergibt sich darauf automatisch aus den positiven Skalarprodukten in jedem infinitesimalen Ruheraum der Beobachter definiert.

Manchmal nicht so$3$-Mannigfaltigkeiten existieren für eine gegebene Kongruenz von Beobachtern, wie es der Fall ist, insbesondere für die rotierende globale Plattform. In diesem Fall ist eine differenziertere Vorstellung von Ruheraum notwendig (und möglich).

In GR sind die Vorstellungen von Raum und Zeit nicht mehr verschieden, sie werden zur Raumzeit kombiniert. Punkte in der Raumzeit werden mit Koordinaten bezeichnet, die beliebig gewählt werden können und im speziellen Fall des Minkowski-Raums die bekannten x, y, z und t sein können. Die einzige physikalisch sinnvolle Größe ist jedoch das Linienelement:

Wo$g_{\mu\nu}$ist die Metrik. Die Eigenzeit entlang einer zeitähnlichen Kurve ist das Integral des Linienelements, wie Sie gelesen haben. Ich sollte jedoch betonen, dass dies nicht dasselbe ist wie die Koordinatenzeit, obwohl sie in der Newtonschen Grenze zusammenlaufen.

Das Messen von Entfernungen in GR ist subtiler, und vor allem gibt es keine eindeutige Vorstellung von Entfernung. Sie könnten das Linienelement bei t = konstant meinen und es entlang einer raumähnlichen Kurve integrieren. Sie könnten eine Art Entfernungsmaß mit Licht bilden, Kosmologen verwenden beispielsweise häufig die Leuchtkraftentfernung und die Winkelentfernung, was damit zu tun hat, wie hell und groß leuchtende Objekte am Himmel erscheinen.

Zusammenfassend gibt es keine eindeutige Gleichung für "Entfernung".