Erhaltung der linearen Impulsgröße entlang einer Trajektorie

Wenn Sie sich mit Vektoren auskennen, brauchen Sie nur die Eulerschen Bewegungsgesetze für einen starren Körper.

1. Für lineare Bewegung gibt es $$\begin{aligned} \vec{p} &= m\, \vec{v}_{\rm cm} \\ \sum \vec{F} &= m\, \vec{a}_{\rm cm} \end{aligned}$$
2. Für die Winkelbewegung gibt es $$\begin{aligned} \vec{L}_{\rm cm} &= I\, \vec{\omega} \\ \sum \vec{M}_{\rm cm} &= I\, \vec{\alpha} + \vec{\omega}\times I \vec{\omega} \end{aligned}$$
3. Für jede Einschränkung leistet eine Reaktionskraft keine Arbeit, und daher$\vec{F} \cdot \vec{v} =0$

Jetzt können Sie jedes Problem in der Starrkörpermechanik ohne Reibung oder Kontakte lösen.

Ich bekomme nicht viel Interesse oder Verständnis für diese Frage (sie ist vielleicht schlecht formuliert?), Ich versuche, sie selbst zu beantworten. Ich habe gezögert, weil ich, da ich schon sehr lange keinen Kontakt mehr zu dieser Art von Mathematik hatte, meiner eigenen formalen Kompetenz nur begrenzt zutraue. Kommentare und alternative Antworten sind natürlich willkommen

Die Grundidee ist, dass wir Probleme betrachten, bei denen die Flugbahn einer Masse bekannt ist. Beispielsweise könnte es durch ein Schienen- oder Rohrsystem erzwungen werden, oder es ist aus irgendeinem anderen Grund bekannt.

Der Punkt, den ich zu machen versuche, ist, dass, wenn die Trajektorie bekannt ist, was auch immer sie ist, die Beschleunigung orthogonal zur Bewegung irrelevant ist, da sie nur dazu dient, die Geschwindigkeit zu orientieren, und das ist bereits aus der Trajektorie bekannt. So kann die Geschwindigkeit dann analysiert werden, indem nur die Tangentialbeschleunigung betrachtet wird, und sie bleibt insbesondere erhalten, wenn keine Tangentialbeschleunigung vorhanden ist.

Formell zur Zeit$t$, wir haben$\vec{a}=\vec{a_T}+\vec{a_C}$Wo$\vec{a_T}$ist die Tangentialbeschleunigung, und$\vec{a_C}$ist die Zentripetalbeschleunigung (siehe Abbildung aus Wikipedia , wo ich auch Hinweise für diese Antwort gefunden habe ).

Wir definieren einen Einheitsvektor$\vec{u_T}$um die Tangente zur Zeit an der Trajektorie auszurichten$t$in Richtung der Geschwindigkeit$\vec{v}$:$\;\,\vec{u_T}=\vec{v}/v$, Wo$v$ist die Geschwindigkeit.

Lassen$a_T$sei der algebraische Wert von$\vec{a_T}$auf der orientierten Tangente. Damit haben wir per Definition der Projektion:$a_T=\vec{a}.\vec{u_T}$

Das beweisen wir jetzt$a_T=dv/dt$

Seit$\vec{v}=v\vec{u_T}$, haben wir durch Differentiation$\vec{a}=d\vec{v}/dt=(dv/dt)\vec{u_T}+v(d\vec{u_T}/dt)$

Nach Frenet-Serret-Formeln ,$d\vec{u_T}/dt=(v/r)\vec{u_C}$, Wo$r$ist der aktuelle Krümmungsradius, und$\vec{u_C}$ist orthogonal zur Bahntangente.

Daher die Tangentialprojektion von$\vec{a}$ist der erste Term der Summe, dh$\vec{a_T}=(dv/dt)\vec{u_T}$.

Daher$a_T=\vec{a_T}.\vec{u_T}=(dv/dt)\vec{u_T}.\vec{u_T}=dv/dt$.

Was schließlich ergibt:$dv/dt=a_T=\vec{a}.\vec{u_T}$

Wenn es keine Tangentialbeschleunigung gibt, dann$dv/dt=0$, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit auf der Bahn konstant ist.

Wenn es eine gewisse Beschleunigung auf der Flugbahn gibt, dann ist die Variation der Geschwindigkeit zwischen zwei Punkten A und B$\int_{t_A}^{t_B}{\vec{a(t)}.\vec{v(t)}dt/v(t)}$, dh,$\int_{t_A}^{t_B}{a_T(t)dt}$.

Dieses Ergebnis kann die Analyse einiger Probleme vereinfachen, bei denen die Trajektorie irgendwie festgelegt und bekannt ist. Die Analyse kann ausschließlich auf der Geschwindigkeit entlang der Trajektorie und ihrer Variation aufgrund der Tangentialbeschleunigung basieren, wobei angenommen wird, dass die Drehung der Masse um sich selbst vernachlässigt werden kann.

Ein Beispiel ist die Analyse der Bewegung einer Achterbahn in eine Schleife.

Was ich mit dem Drehimpuls meinte, ist, dass er in der Analyse implizit werden kann, da nur die Geschwindigkeit (oder der lineare Impuls) berücksichtigt wird, selbst wenn die Flugbahn kreisförmig ist.

Allerdings ist die letzte Bemerkung meiner Frage nicht ganz zutreffend. Dies muss keine Dynamik mit einer einzelnen Masse sein, also eigentlich auf Kinematik reduziert werden. Es ist durchaus möglich, sich zwei Körper vorzustellen, die an die gleiche Flugbahn gebunden sind, sich gegenseitig treffen und abprallen.

Wie im letzten Absatz der Frage gesagt, bin ich immer noch neugierig, warum dies nicht bei einfachen Problemen verwendet wird (obwohl ich beim Abrufen von Informationen für diese Antwort festgestellt habe, dass ähnliche Techniken für schwierigere Probleme verwendet werden ... aber das ist eine andere Geschichte). .