Erhaltung von Linear- und Drehimpuls

Question

Erhaltung von Linear- und Drehimpuls

Benutzer1225999

Angenommen, ich habe zwei starre Körper A und B und sie sind durch eine Feder verbunden, die außermittig angebracht ist (und dadurch möglicherweise Drehmomente verursacht). Aufgrund der Feder eine Kraft $f$ wirkt auf A und eine Kraft $-f$ wirkt auf B (an den jeweiligen Befestigungspunkten) in Richtung der Feder wie in Abb. 1. Wie kann ich die Impulserhaltung zeigen? $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = 0$ (Wo $p_A$ Und $p_B$ sind die linearen Impulse von A bzw. B) fehlt der Winkelanteil und $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A + L_B = 0$ (Wo $L_A$ Und $L_B$ sind die Drehimpulse von A und B jeweils um ihren Massenmittelpunkt) scheint falsch zu sein. Ist $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B + L_A^0 + L_B^0 = 0$ (Wo $L_A^0$ Und $L_B^0$ sind die Drehimpulse von A bzw. B um den Ursprung) der richtige Ansatz?

Was ist, wenn die Kräfte entgegengesetzt sind, aber nicht in Richtung der Feder wie in Abb. 2?

Abb. 1: Entgegengesetzte Kräfte entlang der Linie zwischen den Angriffspunkten der Kräfte.

Abb. 2: Entgegengesetzte Kräfte, aber *nicht* entlang der Linie zwischen den Angriffspunkten der Kräfte.

Abb. 2: Entgegengesetzte Kräfte, aber nicht entlang der Linie zwischen den Angriffspunkten der Kräfte.

Benutzer1225999

Da Linear- und Drehimpuls unterschiedliche Einheiten haben, ist obiger Ansatz sicherlich falsch. Wahrscheinlicher sind Linear- und Drehimpuls getrennt erhalten:

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ Und

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .

Benutzer1225999

Impulserhaltung für Fall 1 ist

\frac{d}{d t} p_{A} + p_{B} = f_{A} + f_{B} = f - f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ und Drehimpulserhaltung ist

\frac{d}{d t} L_{A}^{0} + L_{B}^{0} = \frac{d}{d t} L_{A} + L_{B} + x_{A} \times p_{A} + x_{B} \times p_{B} = τ_{A} + τ_{B} + x_{A} \times f_{A} + x_{B} \times f_{B} = r_{A} \times f - r_{B} \times f + x_{A} \times f - x_{B} \times f = (x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}) \times f = 0

$\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$

Benutzer1225999

Allerdings für den zweiten Fall

x_{A} + r_{A} - x_{B} - r_{B}

$x_A + r_A - x_B - r_B$ ist nicht parallel

f

$f$ und daher scheint der Drehimpuls nicht erhalten zu sein.

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Erhaltung von Linear- und Drehimpuls

Da Linear- und Drehimpuls unterschiedliche Einheiten haben, ist obiger Ansatz sicherlich falsch. Wahrscheinlicher sind Linear- und Drehimpuls getrennt erhalten: $\frac{\rm d}{\rm dt}p_A + p_B = 0$ Und $\frac{\rm d}{\rm dt}L_A^0 + L_B^0 = 0$ .
Impulserhaltung für Fall 1 ist $\frac{\rm d}{\rm dt} p_A + p_B = f_A + f_B = f - f = 0$ und Drehimpulserhaltung ist $\frac{\rm d}{\rm dt} L_A^0 + L_B^0 = \frac{\rm d}{\rm dt} L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f - r_B \times f + x_A \times f - x_B \times f = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f = 0$
Allerdings für den zweiten Fall $x_A + r_A - x_B - r_B$ ist nicht parallel $f$ und daher scheint der Drehimpuls nicht erhalten zu sein.

AdamRotwein · Answer 1

Dreh- und Impuls der beiden Massen A und B sind nicht notwendigerweise einzeln erhalten; es ist das Moment des Systems $S_{AB}$ das ist konserviert. Wenn Sie die Bedingungen des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt kennen $t$ , zeichne ein Freikörperbild und berechne die Impulse für das System. Da Sie wissen, dass diese Werte erhalten bleiben, können Sie sie als Bedingungen verwenden, um Sie zu jedem anderen Zeitpunkt bei der Lösung der Kräfte auf das System zu unterstützen.

DarioP · Answer 2

Um die Erhaltung von Größen zu beweisen, müssen Sie in der Lage sein, die Bewegung des Systems zu berechnen, damit Sie diese Größen direkt aus den zeitabhängigen Koordinaten berechnen und überprüfen können, dass sie sich nicht mit der Zeit ändern.

Ich glaube jedoch nicht, dass die Bewegung dieses Systems integrierbar ist: Es sieht aus wie ein Mehrfachoszillator und neigt sehr dazu, chaotische Bewegungen zu entwickeln (als Doppelpendel ) , daher fürchte ich, dass die Impulserhaltung sein muss vermutet.

Wenn Sie nur nach einer Möglichkeit suchen, es aufzuschreiben, schlage ich vor:

{\begin{cases} \frac{D}{D T} (P_{A} + P_{B}) = 0 \\ \frac{D}{D T} (L_{A} + L_{B} + L_{A}^{0} + L_{B}^{0}) = 0 \end{cases}

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( p_A + p_B \Big)= 0\\ \frac{\rm d}{\rm dt}\Big( L_A+L_B + L_A^0 + L_B^0 \Big)= 0 \end{array}\right.$

die jede mögliche Bewegung der Systemkomponenten berücksichtigen sollte. Du kannst nehmen $L_A^0$ Und $L_B^0$ bezogen auf den Massenmittelpunkt oder einen anderen externen Fixpunkt.

Abschließend habe ich noch eine Anmerkung zu Abb. 2, die keinen vernünftig vollständigen physikalischen Fall darstellt. Diese beiden falsch ausgerichteten Kräfte erzeugen innerhalb des Systems ein Drehmoment aus dem Nichts! Einen solchen Fall sollten Sie in der Natur nicht finden.

Benutzer1225999 · Answer 3

Der Drehimpuls $L_{A/B}$ eines starren Körpers $A/B$ etwa sein Massenmittelpunkt ist

L_{A / B} = {ICH}_{A / B} ω_{A / B},

$L_{A/B} = I_{A/B} \omega_{A/B},$

Wo $I_{A/B}$ ist die Trägheitsmatrix von $A/B$ über seinen Schwerpunkt im Weltrahmen und $\omega_{A/B}$ ist die Winkelgeschwindigkeit von $A/B$ . Der Drehimpuls $L_{A/B}^0$ eines starren Körpers $A/B$ über den Ursprung des Weltrahmens ist

L_{A / B}^{0} = L_{A / B} + X_{A / B} \times P_{A / B},

$L_{A/B}^0 = L_{A/B} + x_{A/B} \times p_{A/B},$

Wo $x_{A/B}$ sind die Koordinaten des Massenschwerpunkts im Weltrahmen. Dann der Gesamtdrehimpuls im System mit den starren Körpern $A$ Und $B$ über den Ursprung des Weltrahmens ist $L_{total}^0 = L_A^0 + L_B^0$ , die angeblich konserviert ist. Der gesamte lineare Impuls ist $p_{total} = p_A + p_B$ .

Der gesamte lineare Impuls bleibt erhalten, sobald die Kräfte $f_A$ Und $f_B$ sind von gleicher Größe und entgegengesetzter Richtung ( $f_A = f = -f_B$ ):

\frac{D}{D T} (P_{A} + P_{B}) = M_{A} {\dot{v}}_{A} + M_{B} {\dot{v}}_{B} = F_{A} + F_{B} = F - F = 0,

$\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( p_A + p_B ) = m_A \dot{v}_A + m_B \dot{v}_B = f_A + f_B = f - f = 0,$

Wo $v_{A/B}$ ist die Translationsgeschwindigkeit von $A/B$ im Weltrahmen. Die Ableitung des Gesamtdrehimpulses nach der Zeit ist

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (L_{A}^{0} + L_{B}^{0}) & = \frac{D}{D T} (L_{A} + L_{B} + X_{A} \times P_{A} + X_{B} \times P_{B}) = {\dot{L}}_{A} + {\dot{L}}_{B} + X_{A} \times {\dot{P}}_{A} + X_{B} \times {\dot{P}}_{B} \\ = τ_{A} + τ_{B} + X_{A} \times F_{A} + X_{B} \times F_{B} = R_{A} \times F_{A} + R_{B} \times F_{B} + X_{A} \times F_{A} + X_{B} \times F_{B} \\ = (X_{A} + R_{A} - X_{B} - R_{B}) \times F . \end{aligned}

$\begin{split} \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} ( L_A^0 + L_B^0 ) & = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} (L_A + L_B + x_A \times p_A + x_B \times p_B) = \dot{L}_A + \dot{L}_B + x_A \times \dot{p}_A + x_B \times \dot{p}_B \\ & = \tau_A + \tau_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B = r_A \times f_A + r_B \times f_B + x_A \times f_A + x_B \times f_B \\ & = (x_A + r_A - x_B - r_B) \times f. \end{split}$

Somit bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten, wenn:

$x_A + r_A - x_B - r_B = 0$ , das heißt, das Kräftepaar wirkt an denselben Koordinaten im Weltsystem,
$f = 0$ , das ist keine Kraft wirkt,
$(x_A + r_A - x_B - r_B)\ ||\ f$ , das heißt die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie.

Abb. 1 erfüllt die Bedingung Nummer 3 und erhält somit den Gesamtdrehimpuls. Abb. 2 erfüllt keine der drei Bedingungen und erhält somit nicht den Gesamtdrehimpuls.

Bearbeiten: Der SO-Post Ist der Drehimpuls immer erhalten, wenn kein externes Drehmoment vorhanden ist? enthält einen Beweis für Punktteilchen, der eine analoge Erhaltungsforderung hat (Kräfte entlang der Verbindungslinie). Der Autor des Beweises hat es inzwischen korrigiert.

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AdamRotwein

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