Erklärung: Einfache harmonische Bewegung

Hier dreht sich alles um Potenzial; Es ist üblich, dass eine Partikelbewegung durch eine folgende ODE beschrieben wird:
$m\ddot{\vec{x}}=-\nabla V(\vec{x})$,

wo$V$ist eine Funktion; normalerweise interessiert man sich für Minima von$V$(sie entsprechen einigen stabilen Gleichgewichtszuständen). Nun aber komplex$V$Im Allgemeinen sehen seine Minima lokal ziemlich wie einige quadratische Formen aus, und daher die allgemeine Annahme, dass$V(x)=Ax^2$... dies vereinfacht die letzte Gleichung zu:

$\ddot{x}=-\omega^2x$,

mit Lösung in harmonischen Schwingungen.

Die übliche Analogie dazu ist eine Kugel in einer Paraboloidschale, die einer potenziellen Form ähnelt; es schwingt in der Nähe des Bodens.

Einfache harmonische Bewegung (SMH) beschreibt das Verhalten von Systemen, die durch einen Gleichgewichtspunkt und eine wiederherstellende "Kraft" (in einem verallgemeinerten Sinne) proportional zur Verschiebung aus dem Gleichgewicht gekennzeichnet sind.

Beispielsystem

Ein einfaches mechanisches System mit diesem Verhalten ist eine Masse auf einer Feder (die wir der Einfachheit halber in einer Dimension betrachten werden). Es gibt einen Punkt, an dem die Masse stabil ist: Sie kann ohne äußere Kräfte in Ruhe gelassen werden und wird nicht beschleunigt. Das ist das Gleichgewicht, nennen Sie es$x_0$. Bewegt man die Masse von dort aus, übt die Feder eine Rückstellkraft aus$F = -k(x-x_0)$. Hier$k$ist eine Eigenschaft der Feder, die als "Federkonstante" bezeichnet wird; eine steife Feder hat eine hohe Federkonstante und eine schwache Feder einen niedrigen Wert für$k$. Betrachten wir den Spezialfall wo$x_0 = 0$(ohne Verlust der Allgemeinheit, sondern nur um die Zahlensymbole auf ein Minimum zu beschränken).

Also die Beschleunigung der Masse zu jedem Zeitpunkt

Das ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Lösungen die Form haben, die Sie oben zeigen (wobei$A$und$\phi$) nehmen den Teil der beiden Integrationskonstanten, der erforderlich ist, damit die Lösung mit einem beliebigen Satz von Randbedingungen übereinstimmt.

Beweisen wir es durch explizite Substitution:

Allgemeine Diskussion

Das Wichtige an SHM ist, dass diese wiederherstellenden „Kräfte“, die linear proportional zu „Verschiebung“ sind (wobei wir zulassen, dass es verallgemeinerte Bedeutungen sowohl für „Kraft“ als auch für „Verschiebung“ geben kann), im Universum sehr verbreitet sind. So lassen sich sehr viele Phänomene auf diese Weise beschreiben (und noch mehr, wenn wir uns auf kleine Störungen beschränken).

Ich denke, dieser Thread zeigt, dass jeder seinen eigenen Geschmack hat, wenn es um dieses Thema geht!

Zunächst einmal wird es harmonische Bewegung genannt, weil Sinus und Cosinus die elementaren harmonischen Funktionen sind. Denken Sie daran, dass eine harmonische Funktion im Allgemeinen eine Lösung der Laplace-Gleichung ist (die überall in der Physik auftaucht), und in der wir zunächst studieren$sin(x+vt)=sin(kx+\omega t)$da dies die Bausteine ​​der Lösungen der Wellengleichung sind. Im QM bekommt das Prinzip der Superposition (von ODE's) eine ganz andere, physikalische Bedeutung.

Es ist auch offensichtlich, dass die Gleichung der harmonischen Bewegung die Projektion von ist$e^{i\omega t}$auf die reelle Achse, was ein Standardtrick ist, um diese Gleichung herzuleiten.

Ein wichtiges Beispiel für harmonische Oszillatoren in der Natur sind nun die Atome in einem Festkörper. Das ist grundlegend 1905 Einstein, 1905 zeigte Einstein, dass Atome in einem Festkörper als harmonische Quantenoszillatoren behandelt werden können, und dass dies das Verhalten spezifischer Wärme bei niedrigen Temperaturen erklärt.

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist, dass das EM-Feld als drei Räume betrachtet werden kann, in denen jeder Punkt ein harmonischer Quantenoszillator ist. Tatsächlich wird das EM-Feld quantisiert, indem die Fourier-Komponenten des Felds als Erzeugungs- und Inhalationsoperatoren für Photonen einer gegebenen Frequenz betrachtet werden$\omega$, die den Hebe- und Senkoperatoren des harmonischen QM-Oszillators genau gleich sind.

Die letzte Standardbemerkung ist, dass fast alle kleinen Schwingungen in der Natur angenähert werden können$F=-kx$, durch eine Taylorentwicklung der Kraft$F(x)$erstmal reinbestellen$x$.

Dies spiegelt einige der anderen Antworten wider, aber einfache harmonische Bewegung ist universellim folgenden Sinne. Ein aus dem Gleichgewicht verschobenes System zeigt eine gewisse Kraft (möglicherweise Null) als Funktion der Verschiebung. "Gleichgewicht" bedeutet, dass wenn x die Verschiebungskoordinate ist, die Reaktionskraft F(x) F(0)=0 gehorcht. Wenn wir also F in x taylorisieren, erhalten wir F(x) = 0 + F'(0)x + F''(0)x^2/2 + ..., wobei hier x eine Mehrfachkoordinate sein kann, F vektorwertig, mit F' ein Jacobian usw. Der Punkt ist, dass für kleine Verschiebungen der lineare Term eine gute Annäherung ist (er ist allgemein ungleich Null, aber nicht immer) und die Gleichungen haben die Form d ^ 2x ^ i / dt^2 = \sum_j (dF^i/dx^j)(0) x^j. Dieses lineare System ist auf Kopien einer einfachen harmonischen Bewegung reduzierbar, wenn wir die Matrix F'(0) diagonalisieren können (zB wenn die Kraft konservativ ist, ist sie symmetrisch, eine Hessesche und daher diagonalisierbar). Dieselbe Argumentation funktioniert formal in unendlichen Dimensionen, also in der Quantenfeldtheorie. Wenn Sie ein alltägliches Beispiel wollen, treten Sie gegen eine Wand. Es wird zittern. Deshalb.

Einfache harmonische Bewegungen werden mit diesem Namen bezeichnet, weil die Zeitabhängigkeit der zu beschreibenden Koordinate durch ein konstantes Vielfaches einer Sinus- oder Kosinusfunktion eines Vielfachen der Zeit gegeben ist, also eine harmonische Funktion im Sinne einer Funktionsart verwendet in der harmonischen oder Fourier-Analyse einer periodischen, aber ansonsten willkürlichen Bewegung in Form von Sinusfunktionen.

Die Bedeutung der einfachen harmonischen Bewegung ergibt sich zuallererst aus ihrer durchdringenden Präsenz in der makroskopischen Natur als charakteristische Reaktion auf kleine Störungen aus dem Gleichgewicht, die proportional zur Störung wiederherstellende Kräfte erzeugen. Darüber hinaus sind, wie im vorigen Absatz angedeutet, fast alle Bewegungsarten als Überlagerungen einfacher harmonischer Bewegungen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden analysierbar. Eine solche Analyse ist genau das, was wir Fourier-Analyse der Bewegung nennen.

Überall dort, wo es eine Rückstellkraft gibt, die linear ist mit irgendeiner Störung des Gleichgewichts, tritt eine harmonische Bewegung auf. Die meisten dynamischen Systeme, die entweder elastische Kräfte oder eine Art konservatives Feld (wie die Schwerkraft) aufweisen, neigen dazu, harmonische Bewegungen zu zeigen. Ich denke, Sie können es als den natürlichen Tanz von potentieller und kinetischer Energie betrachten.

Ein Beispiel, das wir in der High School verwendet haben, war ein Korken, der vertikal auf der Wasseroberfläche schwimmt. Ausgehend von der Position, in der alles im Gleichgewicht ist, erhöht eine kleine Neigung des Korkens den Auftrieb linear, und eine kleine Erhöhung des Korkens nimmt ab. Da die Summe der Kräfte im Gleichgewicht Null ist, werden Änderungen des Auftriebs als zusätzliche Gegenkraft zur linearen Bewegung angesehen.

Eine praktische Anwendung ist die Messung des Massenträgheitsmoments einer axialsymmetrischen Form. Sie hängen die Form an einem dünnen elastischen Draht auf und drehen ihn leicht. Die resultierende Hin- und Herschwingung ist SHM und ihre Periode wird verwendet, um zu berechnen, was das MMOI um die Rotationsachse ist. Es gibt Unternehmen, die Teil der Qualitätssicherung für hergestellte Teile sind und Proben durch diesen "einfachen" Test führen, um die erwartete Leistung im Feld zu überprüfen.

Stellen Sie sich ein Teilchen in Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit vor$\omega$und Radius des Kreises$A$.

Die Projektion des Partikels auf die Diagonale des Kreises erfolgt in SHM.

Angenommen, die Diagonale des Kreises liegt auf der X-Achse und der Mittelpunkt des Kreises$(0,0)$.

Es ist leicht, diese Positionsgleichung der Projektion zur Zeit zu sehen$t$ist

$\phi$Winkel zur Zeit$t=0$

$x(t) = Acos(\omega t + \phi)$

Ich habe einmal versucht, einen großen Baumstamm von einem Wanderweg wegzuschieben. Der Baumstamm lag schon eine Weile dort und war im Dreck versunken, also musste ich fest genug drücken, um ihn aus der Senke herauszudrücken, um ihn herauszuschieben. Ich trat dagegen, konnte es aber nicht fest genug treten, um es herauszubekommen. Ich war mit ein paar anderen Leuten zusammen, also haben wir es alle getreten, aber wir haben es wieder nicht rausbekommen. Was tatsächlich passierte, war, dass es sich ein Stück weit aus seinem Loch herausrollte, dann zurück zu uns rollte und ein Stückchen in entgegengesetzter Richtung aus seinem Loch herauskletterte. Schließlich rollte es wieder so zurück, wie wir es ursprünglich getreten hatten.

Wir kamen bald auf die Idee, den Baumstamm zu treten, darauf zu warten, dass er auf uns zurollt, dann in die andere Richtung zu rollen und ihn erneut zu treten, während er bereits in die Richtung rollte, in die wir ihn haben wollten. Mit ein wenig Mühe ließ uns diese Strategie schließlich den Baumstamm aus seiner Vertiefung und an den Rand des Weges rollen.

Der Baumstamm zeigte eine einfache harmonische Bewegung – er schüttelte sich mit einer bestimmten Frequenz hin und her und oszillierte um den Punkt, an dem er ruhen würde. Unsere Tritte waren zeitlich so abgestimmt, dass sie mit der Periode der Schwingungen des Baumstamms zusammenfielen. Dies wird als Erreichen von "Resonanz" bezeichnet.

Das Protokoll war kein perfekter einfacher harmonischer Oszillator, da es nur ein paar Mal hin und her zitterte, bevor es sich wieder beruhigte. Im Idealfall zittert ein einfacher harmonischer Oszillator endlos hin und her. Außerdem kann es mehr oder weniger stark zittern (unterschiedliche Amplitude der Sinuswelle), aber es wird immer die gleiche Periode haben und sich sinusförmig bewegen.

Viele mechanische Systeme ähneln einfachen harmonischen Oszillatoren. Ein Pendel in einer Uhr ist ein gutes Beispiel. Wenn Sie einen im Wasser schwimmenden rechteckigen oder senkrechten zylindrischen Eiswürfel nehmen und ganz leicht dagegen klopfen, schwingt er in einer harmonischen Bewegung mit einer Periode von etwa einer halben Sekunde auf und ab. Auch das Wasser selbst ist ein harmonischer Oszillator. Wenn Sie es kurz über den Tisch schieben, sehen Sie, wie die gesamte Wasseroberfläche auf eine charakteristische Weise hin und her zittert, die als "Schwappmodus" bezeichnet wird. Elektrische Schaltungen mit einem Induktor und einem Kondensator ergeben extrem gute einfache harmonische Oszillatoren. Ein Quarzkristall ist auch gut. Da es mit einer bestimmten Periode schwingt, ist es eine gute Uhr. Ältere Uhren verwenden einen anderen einfachen harmonischen Oszillator, eine aufgezogene Feder, die hin und her rüttelt. Wenn eine Achterbahn am Fuß eines Hügels hin und her rollen würde, wäre sie auch ein einfacher harmonischer Oszillator. Wenn Sie ein Loch vom Nordpol zum Südpol graben und etwas hineinwerfen, würde die Schwerkraft es in einer einfachen harmonischen Schwingung durch die Erde hin und her schwingen.

Einfache harmonische Oszillatoren können verwendet werden, um molekulare oder atomare Systeme zu beschreiben. Sie können eine Menge über die Art und Weise entdecken, wie Licht mit Materie interagiert, indem Sie einfach so tun, als wäre ein an ein Atom gebundenes Elektron ein einfacher harmonischer Oszillator, und Moleküle wie CO2 schwingen ebenfalls wie einfache harmonische Oszillatoren. Sogar Sie sind ein einfacher harmonischer Oszillator. Spreizen Sie Ihre Füße, machen Sie sich steif und schaukeln Sie von Fuß zu Fuß vor und zurück, bleiben Sie steif, sodass der Fuß, der Ihr Gewicht nicht trägt, tatsächlich vom Boden abhebt. Sie werden feststellen, dass es eine bestimmte Frequenz gibt, auf der Ihr Körper schaukeln möchte, solange Sie nicht zu weit gehen, und dass sich diese Frequenz ändert, wenn Sie den Abstand zwischen Ihren Füßen ändern.

Es gibt viele Vorbehalte zu all dem. Diese Systeme unterliegen Reibung, so dass sie im Gegensatz zu einem idealen einfachen harmonischen Oszillator schließlich auslaufen. Die meisten von ihnen sind einfache harmonische Oszillatoren nur für kleine Amplituden. Drückt man den gesamten Eiswürfel unter Wasser, gehorcht er keiner Sinusschwingung mehr. Die Achterbahn ist, selbst wenn sie reibungsfrei ist, nur dann ein einfacher harmonischer Oszillator, wenn die Form der Bahn eine spezielle Form ist, die als Brachistochrone bezeichnet wird. Das Loch durch die Erde führt nur zu einer einfachen harmonischen Bewegung unter der falschen Annahme, dass die Dichte der Erde konstant ist.

Nichtsdestotrotz sind diese Modelle äußerst nützlich, um Naturphänomene zu erklären. Ein großes Gewässer wie ein See oder eine Bucht ist ein einfacher harmonischer Oszillator, genauso wie das Wasserglas, das über den Tisch geschoben wird, um den Schwappmodus anzuregen. Aber die Periode des Schwappmodus wird immer länger, je größer das Gewässer wird. Für die Bay of Fundy liegt der Sloshing-Modus sehr nahe bei zwölf Stunden. Da die Gezeiten alle zwölf Stunden einmal kommen, verhalten sich die Gezeiten sehr ähnlich wie meine Freunde und ich den schweren Baumstamm aus seinem Loch getreten haben. Die Gezeiten bauen sich sehr stark auf, und Gezeiten können zehn Meter hoch sein!

Ingenieure müssen sich ständig um dieses Resonanzphänomen kümmern. Das berühmteste Beispiel ist die Hängebrücke von Tacoma Narrows, die anfing wild zu zittern und schließlich an einem windigen Tag zusammenbrach, als die turbulenten Wirbel des Windes in Resonanz mit der Brücke kamen. Wenn Sie ein Gebäude bauen, möchten Sie nicht, dass es eine einfache harmonische Bewegung mit der gleichen Frequenz wie Erdbebenwellen durchläuft, und Sie möchten nicht, dass die Aufhängung eines Autos die gleiche Frequenz wie eine Art regelmäßiges Eintauchen hat die Straße zum Beispiel.

Ein Teilchen, das eine einfache harmonische Bewegung ausführt, sollte periodisch sein, seine Bewegung muss von der Rückstellkraft weg sein und sollte immer direkt proportional zur Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung sein, dh RF ist direkt proportional zur negativen Verschiebung.