Erstes Integral des Keplerproblems

Ja, es macht Sinn, Orbitalelemente auch für Potentiale mit Termen höherer Ordnung zu definieren$q$, die ich umbenennen werde$r$da es bei dieser Art von Problemen häufiger vorkommt.

Beispiel: Das Potential sei gegeben durch$U(r)=-\frac{\mu}{r}+\frac{h}{r^2}$, Wo$h>0$. Für die Anfangsbedingungen des Teilchens mit Masse$m$, mit einer Anfangsposition von$T(a,0)$und Anfangsgeschwindigkeit von$v_0=\sqrt{\frac{\mu}{2am}}$in die Richtung$\phi_0=\pi/4$, und lassen Sie die Beziehung zwischen$h$und andere Parameter als angegeben werden$h=\frac{3}{8}ak$(Die Parameter werden so gewählt, dass sie eine schöne Ausgabeformel und einen Graphen ergeben), die Bahngleichung kann wie folgt berechnet werden

$$r(\theta)=\frac{a}{1-0.5\sin(2\theta)}$$ und sieht so aus:

Auf dem Bild können Sie die Anfangsposition und -geschwindigkeit sehen$\vec{r}_0$Und$\vec{v}_0$jeweils sowie$r_{min}$Und$r_{max}$die Perihelen und Aphelen entsprechen.

Was die Definition des Drehimpulses und des Laplace-Runge-Lenz-Vektors (den Sie nennen$\vec{e}$), da das Potential rotationssymmetrisch ist (mit anderen Worten, die Kraft ist zentral), bleibt der Drehimpuls erhalten (den Beweis kann ich beifügen, wenn Sie möchten), sodass Sie ihn aus den Anfangsbedingungen berechnen können:

$$\vec{M}=\vec{r}_0\times\vec{v}_0=mav_0\sin(\pi/4)\hat{z}=0.5\sqrt{mak}\hat{z}$$

Der LRL-Vektor ist eine konservierte Größe im Kepler-Problem, aber in anderen ist er normalerweise nicht konserviert und hat eine Zeitentwicklung, die perturbativ erhalten werden kann. Weitere Informationen finden Sie hier .

Mit mehr Termen höherer Ordnung werden die Bewegungsintegrale normalerweise sehr hart oder unlösbar, aber selbst in dem Fall, in dem wir auf numerische Berechnungen zurückgreifen, können viele Informationen aus diesen beiden Vektoren gewonnen werden.