Dies ist meine erste Frage hier, tut mir leid, wenn sich herausstellt, dass es sich um ein Duplikat handelt. Der mathematische Konstruktivismus besagt, dass der Widerspruch gegen die Nichtexistenz von etwas nicht dessen Existenz impliziert. Bedeutet das, dass das tertium non datur in der Existenzfrage nicht gilt? Gibt es ein solches Konzept, dessen Nichtexistenz sich als falsch erwiesen hat, dessen Existenz aber noch unentschieden/unbewiesen ist? Oder ist die Existenzeigenschaft von solcher Art, dass sie mindestens einen weiteren Zustand hat, außer existierend oder nicht existierend?
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Die klassische Logik enthält das Prinzip des indirekten Beweises: Wenn ¬A zu einem Widerspruch führt, kann auf A geschlossen werden. Axiomatisch ausgedrückt ist dieses Prinzip im Gesetz der doppelten Negation enthalten, ¬¬A → A . Das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten, A ∨ ¬A , ist eine etwas stärkere Art, dasselbe Prinzip auszudrücken.
Bei der konstruktiven Interpretation ist das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten keine leere „Tautologie“, sondern drückt die Entscheidbarkeit des Satzes A aus . Ebenso besteht ein direkter Beweis eines Existenzsatzes ∃xA aus einem Beweis von A für einen ["Zeugnis"] a . Klassischerweise können wir die Existenz indirekt beweisen, indem wir annehmen, dass es kein x gibt, so dass A , dann einen Widerspruch ableiten und daraus schließen, dass ein solches x existiert. Hier wird das klassische Gesetz der doppelten Negation zur Ableitung von ∃xA aus ¬¬∃xA verwendet .
Es ist also richtig zu sagen , dass tertium non datur aus konstruktivistischer Sicht generell nicht gilt .
Seine Anwendung auf Existenzbeweise impliziert, dass die Existenz eines Zeugen von A unentschieden/unbewiesen ist , bis wir es nicht „zeigen“ können.
Wie Mauro Allegranza sagte, wird in der intuitionistischen Logik nicht angenommen, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (und tertium non datur, wenn die beiden unterschieden werden) im Allgemeinen gilt . Das heißt, wir können nicht annehmen, dass A∨¬A eine Tautologie für jedes gegebene A ist (einschließlich beispielsweise A:=∃xB ). Es kann für bestimmte Auswahlen von A wahr sein , nur nicht für alle . Es kann sogar passieren, dass es für alle Wahlen von A wahr ist , aber unsere Logik kann das Wissen um diese Tatsache nicht verinnerlichen (z. B. weil die Wahrheit der Aussage eher zufällig als notwendig oder in einem relevanten Sinne nicht einheitlich ist).
Genauer gesagt: aus ¬¬∃xA dürfen wir auf ¬∀x¬A schließen , da die intuitionistische Logik die Äquivalenzen zwischen ¬∃xA und (∃xA)→⊥ sowie zwischen (∃xA)→B und ∀x(A) bestätigt →B) (für jedes A und B , wo x nicht frei in B vorkommt ). Wenn wir jedoch von ¬∀x¬A nach ∃x¬¬A gehen , stoßen wir auf Probleme (ganz zu schweigen davon, von ∃x¬¬A nach ∃xA zu gelangen ). In der BHK-Interpretation der intuitionistischen Logik folgt aus ∃x¬A ¬∀xA für jedes A(weil ∃x(A→B) allgemeiner (∀xA)→B zur Folge hat ); die Umkehrung gilt jedoch nicht. Nur weil es absurd ist zu glauben, dass jede Entität eine bestimmte Eigenschaft hat, lässt uns das nicht zu, eine Entität zu fabrizieren, der diese Eigenschaft fehlt. Wir können nicht einfach annehmen, dass da draußen im Äther eine Entität existiert; wir müssen eine bestimmte Entität ausstellen, um unsere Behauptung zu bezeugen, dass es eine gibt.
Ich stelle fest, dass das Obige für die BHK-Interpretation der intuitionistischen Logik gilt, weil es nicht für alle "konstruktiven Logiken" gilt. Insbesondere die sogenannten russischen Konstruktivisten akzeptieren die Gültigkeit des verallgemeinerten Markov-Prinzips (GMP) : " ¬∀xA bringt ∃x¬A für jedes A mit sich ". Insbesondere wenn der Bereich von x endlich aufzählbar ist, ist der GMP gemäß den BHK-Prinzipien vollkommen vertretbar: Unser Beweisverfahren besteht darin, den Bereich erschöpfend zu durchsuchen, bis wir einen Zeugen finden. Es ist sogar in Ordnung für einige unendliche Räume , die bestimmte Kompaktheitseigenschaften zulassen; wieder, weil wir einen Algorithmus aufstellen können, um tatsächlich einen Zeugen für die Existenzbehauptung zu konstruieren. Intuitionisten lehnen die volle Leistungsfähigkeit des GMP ab, weil wir nicht annehmen wollen, dass alle Bereiche der Quantifizierung einen solchen Algorithmus zur Konstruktion von Zeugen zulassen, genauso wie wir die volle Leistungsfähigkeit von LEM scheuen, weil wir nicht davon ausgehen, dass alle Aussagen entscheidbar sind.
Zu Ihrer zweiten Frage: Die intuitionistische Logik hat drei Zustände der "Wahrheit": A , ¬A und ¬¬A . (NB, das bedeutet nicht , dass es drei Wahrheitswerte gibt!) Was die Benennung dieser Zustände der Wahrhaftigkeit betrifft, entscheiden sich einige für syntaktisch orientierte Namen ("positiv", "negativ" und "doppelt negativ"), während andere semantisch- orientierte Namen ("streng positiv", "negativ" und "(schwach) positiv"). Einige Autoren sagen „ A ist schwach wahr“, um zu sagen, dass ¬¬A wahr ist. Analog könnte man sagen „es gibt schwach ein x , so dass A “ bedeutet, dass ¬¬∃xA wahr ist.