Fermatsche Prinzipfrage

Für Gruppe I ist die Gesamtweglänge von S nach P fast gleich: Wo Linie 1 von S bis zur Reflexion etwas kürzer ist, wird dies ziemlich genau durch die Tatsache ausgeglichen, dass der Segmentspiegel-P länger ist.

Andererseits ist für Gruppe II die Weglänge von S zum Spiegel für alle drei Strahlen fast gleich; es gibt jedoch einen Unterschied in der Weglänge vom Spiegel zu P.

Die Richtung des Vektors ergibt sich aus der Gesamtstrecke. Änderungen in der Position des Winkels in der Nähe des Zentrums tragen nicht viel zu Änderungen in der Gesamtentfernung bei.

Kleine Änderungen werden vergrößert, wenn der Reflexionsort weit vom Mittelpunkt entfernt ist. Somit führt eine gleiche Ortsänderung zu einer größeren Gesamtentfernungsänderung, wenn der Ort der Reflexion weiter von der Mitte entfernt ist. Dieser größere Unterschied bedeutet, dass die resultierenden Vektoren je nach Wellenlänge in sehr unterschiedliche Richtungen weisen können.

Erinnern Sie sich zunächst an einen schönen geometrischen Beweis des Reflexionsgesetzes , dh Eingangswinkel = Ausgangswinkel, unter Verwendung des Fermat-Prinzips durch Umkehren des Ausgangspfads in der Spiegelebene:

$\uparrow$Abb. 1 Das Reflexionsgesetz. Der kürzeste Weg dazwischen$A$und der Spiegelpunkt$B'$ist eine Gerade. (Bild von der Website quantapublication.wordpress.com .)

Offensichtlich ist der kürzeste Weg eine gerade Linie. Oder äquivalent, die gerade Linie ist ein stationärer Punkt von Weglängen in der Menge aller Wege.

1. Einerseits können die Weglängen benachbarter Wege zur Geraden nur in der zweiten Ordnung der Verformung variieren. Daher zeigen die entsprechenden Zeiger alle ungefähr in die gleiche Richtung, und ihre Summe summiert sich, vgl. Gruppe-I in Abb. (b).

2. Abseits von einem stationären Punkt ändert sich die Weglänge benachbarter Wege hingegen typischerweise linear in der Verformung. Die entsprechenden Zeiger zeigen in sehr unterschiedliche Richtungen, und ihre Summe hebt sich typischerweise auf, vgl. Gruppe-II in Abb. (b).

Es sollte betont werden, dass die obige Beobachtung der Kern dafür ist, warum das Pfadintegral von klassischen Pfaden dominiert wird, vgl. zB dieser Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links.