Das Fermatsche Prinzip besagt, dass ein Lichtstrahl von einem Punkt aus einem Weg folgt darauf hinweisen so dass die optische Weglänge dieses Weges ein Extremum gegenüber benachbarten Wegen ist.
Mit diesem Prinzip wollte ich das Reflexionsgesetz beweisen. Sie tun dies zB hier: http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph5B/fermat09.pdf (das pdf kann auch gefunden werden, wenn man "Fermats Prinzip und die Gesetze der Reflexion und Brechung" googelt). Sie zeigen, dass der Weg wo ist in der Tat ein Minimum über benachbarte Pfade in derselben Ebene, die ebenfalls am Spiegel reflektieren. Aber ich sehe nicht wirklich ein, wie dieser Beweis vollständig ist, weil ich mir leicht einen Weg von A nach B vorstellen kann, der nur minimal von dem Weg abweicht, der am Spiegel reflektiert wird, der eine kürzere optische Weglänge hat. Zum Beispiel ein Weg, der sich vor dem Spiegel spiegelt. Aus diesem Grund scheint mir der Pfad nicht wirklich minimal über alle Nachbarpfade zu sein, wir haben nur bewiesen, dass er über einigen Nachbarpfaden liegt.
Ich vermute also, dass mir hier etwas fehlt, und ich hoffe, jemand kann mir das erklären.
Sie machen einen guten Punkt, der uns dazu auffordert, sorgfältiger darauf zu achten, was das Fermatsche Prinzip sagt und wie der Beweis abläuft. Das Ergebnis dessen, was ich sagen werde, ist
Die Aussage des Reflexionsgesetzes muss eine entsprechende Einschränkung enthalten.
Hier ist, was ich im Detail meine. Lassen Sie uns zunächst eine genaue Aussage über das Fermatsche Prinzip geben:
Fermatsches Prinzip. Lassen bezeichnen die Menge aller stetigen Kurvensegmente in drei Dimensionen. Punkte lassen Und in drei Dimensionen gegeben werden. Angenommen, ein Lichtstrahl beginnt am Punkt und endet am Punkt , und nehmen wir an, dass der Weg des Lichtstrahls darauf beschränkt ist, nicht in einer Teilmenge zu liegen , dann der Weg, den das Licht dazwischen nimmt Und ist ein kritischer Punkt des Reisezeitfunktionals für jede Variation von Pfaden, die in der Menge enthalten sind .
Wir können dieses Prinzip verwenden, um eine der beiden folgenden Aussagen zu beweisen, von denen man alle drei als Reflexionsgesetz bezeichnen könnte.
Reflexionsgesetz 1. Wenn Licht in eine bestimmte Richtung auf einen Spiegel emittiert wird, dann (i) wird das Licht in einer geraden Linie entlang der Anfangsrichtung auf den Spiegel zulaufen, (ii) es wird auf den Spiegel treffen, (iii) es in einer geraden Linie reflektiert wird und (iv) der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist.
Reflexionsgesetz 2. Wenn Licht von einem Punkt über einem Spiegel emittiert wird und das Licht den Spiegel berührt, dann (i) bewegt sich das Licht in einer geraden Linie von seinem Anfangspunkt zum Kontaktpunkt, (ii ) es wird in einer geraden Linie reflektiert, und (iii) der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel.
Beachten Sie, dass es in diesen beiden Fällen eine Einschränkung gibt, die man berücksichtigen muss, wenn man den Weg der kürzesten Zeit bestimmt. In der ersten obigen Anweisung der Constraint-Satz ist die Menge aller kontinuierlichen Pfade, deren Anfangsrichtungen nicht mit der angegebenen Anfangsrichtung übereinstimmen. In der zweiten Anweisung des Gesetzes wird die Einschränkung festgelegt ist die Menge aller kontinuierlichen Pfade, die den Spiegel nicht berühren.
Beachten Sie, dass, wenn Sie keine Einschränkung einfügen und einfach zwei beliebige Punkte über dem Spiegel auswählen, das Fermat-Prinzip Ihnen natürlich sagt, dass der Pfad, dem das Licht folgt, das gerade Liniensegment ist, das diese beiden Punkte verbindet. Aber das ist in Ordnung, denn das Reflexionsgesetz beantwortet die Frage „bei zwei beliebigen Punkten“ nicht Und über einem Spiegel, und da geht ein Lichtstrahl aus Zu , was ist der Weg, den der Lichtstrahl nehmen muss?" Tatsächlich gibt es auf diese Frage keine eindeutige Antwort. Die Antwort hängt von den Randbedingungen ab.
QMechaniker