Festkörperphysik: Wann verwende ich klassische Gesetze?

Für die Wellenmechanik gibt es die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit. Für die Energie$E~=~\hbar\omega$die Phasengeschwindigkeit ist

$$v_p~=~\frac{\omega}{k}~=~\frac{\hbar}{2m}(k~+~ck^3).$$ Dies ist die Geschwindigkeit einer Wellenfront oder wo die Phase der Welle konstant ist. Es gibt auch die Gruppengeschwindigkeit $$v_g~=~\frac{\partial\omega}{\partial k}~=~\frac{\hbar}{m}(k~+~2ck^3).$$

Die klassische Idee, die in dieser Frage vorgeschlagen wird, ist die$k^2~+~ck^4~=~k'^2$so dass

$$p'~=~\hbar k'~=~\hbar k\sqrt{1~+~ck^2}$$ Dies ist eine andere Definition des Impulses und damit der Geschwindigkeit. Ich würde sagen, dass ein besserer Ansatz darin besteht, den Hamiltonian oder die Energie entsprechend zu schreiben $p~=~\hbar k$ $$H~=~\frac{1}{2m}\left(p^2~+~\frac{c}{\hbar^2}p^4\right).$$ Dieser Hamiltonoperator ist ein Operator für $p~\rightarrow~-i\partial_x$. Setzen Sie nun die Wellenfunktion ein $\psi(x,t)~=~Ae^{-ikx~+~i\omega t}$in der Schrödinger-Gleichung zu erreichen $$H\psi~=~i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$ finden $$\hbar\omega~=~\frac{\hbar^2}{2m}\left(k^2~+~ck^4\right),$$ was mit der obigen Phasengeschwindigkeit übereinstimmt.

Wenn Sie darauf bestehen würden, eine Art klassische Form mit dem obigen Hamiltonian zu machen$H~=~E$Sie werden zu einer ziemlich komplizierten Gleichung kommen

$$p^2~=~-\frac{\hbar^2}{2c}\left(1~-~\sqrt{1~+~\frac{8mc}{\hbar^2}E}\right).$$ Dies ergibt sich aus der quadratischen Gleichung und der Wahl mit $p^2~=~0$bei $E~=~0$. Wenn du es zulässt $E~=~\hbar\omega$Es ist nicht schwer zu sehen, dass dies das obige Ergebnis mit der Schrödinger-Gleichung wieder herstellt.