Finden des effektiven Hamiltonoperators in einem bestimmten Unterraum

Um den effektiven Hamilton-Operator in einem Unterraum zu finden, der energetisch gut vom Rest des Hilbert-Raums getrennt ist, versucht man, eine einheitliche Transformation zu finden, die den Hamilton-Operator in diesem Unterraum blockdiagonal macht. Üblicherweise wird dieses Verfahren störungstechnisch durchgeführt und die entsprechenden Formeln – meist zweiter Ordnung – liegen vor. Aber ich habe irgendwo gesehen, dass der effektive Hamiltonoperator die kompakte Beziehung erfüllt:

1 E − H e F F = P S 1 E − H P S

Wo P S ist der Projektionsoperator in den Unterraum, dessen effektiver Hamilton-Operator wir wollen.

Woher kommt also die obige Beziehung? Es ist auch sehr hilfreich, wenn Sie einige Referenzen über verschiedene Wege erwähnen, wie man systematisch einen effektiven Hamilton-Operator erhält.

Ich habe die obige Formel in dem Buch "Interacting Electrons and Quantum Magnetism" von Auerbach gesehen.

Nur eine Randbemerkung, um eine Verbindung zur üblichen Störungstheorie herzustellen, an der wir natürlich interessiert sind P H k P für alle Ganzzahlen k (dh wie der Hamiltonoperator verschiedene Zustände in unserem Unterraum verbinden kann). Diese unendliche Liste von Operatoren kann durch eine einzige Generierungsfunktion erfasst werden F ( ϵ ) = P 1 1 − ϵ H P . In der Tat wissen wir das algebraisch durch die Identität geometrischer Reihen F ( ϵ ) = P ( ∑ N = 0 ∞ ϵ N H N ) P so dass P H k P = D k F D ϵ k | ϵ = 0 .
[Fortsetzung] Beachten Sie das G eff ( E ) = P 1 E − H P = F ( 1 E ) E , also auf algebraischer Ebene G eff ( E ) erfasst alle Informationen, die wir für unsere herkömmliche Störungstheorie benötigen.

Antworten (2)

Dieser Ansatz ist einfach zu verstehen, wenn Sie das erkennen 1 / ( E − H ) ist nichts als der Propagator (die Green-Funktion) G ( E ) = ( E − H ) − 1 . Dieser Ansatz bedeutet also einfach, dass der effektive Verbreiter G eff ( E ) = ( E − H eff ) − 1 wird erhalten, indem der vollständige Propagator auf den interessierenden Unterraum beschränkt wird G eff ( E ) = P S G ( E ) P S . Man mag sich fragen, warum man den Hamilton-Operator nicht direkt auf den Unterraum projiziert, sondern den Propagator. Der Grund dafür ist, dass alle physikalischen Observablen in Bezug auf die Dichtematrix gemessen werden ρ ( E ) = − 2 ℑ G ( E + ich 0 + ) , das ist der Imaginärteil des Propagators. Beispielsweise der Erwartungswert eines Operators A auf einen Eigenzustand der Energie ausgewertet E wird von gegeben

A ¯ ( E ) = Tr A ^ ρ ( E ) = − 2 Tr A ^ ℑ G ( E + ich 0 + ) .

Nehmen wir nun an, wir interessieren uns nur für die physikalischen Observablen im Hilbert-Unterraum H S , dann die Informationen des Propagators G ( E ) in diesem Teilraum reichen aus, um alle Messergebnisse und damit eine „effektive“ Beschreibung des Teilsystems zu reproduzieren. Der Hamilton-Operator, der den effektiven Propagator erzeugt, wird daher als effektiver Hamilton-Operator für das Subsystem betrachtet. Natürlich wird der effektive Hamilton-Operator typischerweise nur bis zu einer gewissen Ordnung perturbativ berechnet, daher werden Näherungen eingeführt. Aber stellen Sie sich vor, wir könnten den effektiven Hamilton-Operator für alle Ordnungen finden, dann würde er mit dem vollständigen Hamilton-Operator bei allen physikalischen Messungen übereinstimmen, die im Subsystem (oder im Subraum) stattfinden.

Nehmen Sie zum Beispiel ein einfaches quantenmechanisches Problem. Betrachten Sie ein Zwei-Niveau-System, das durch den Hamiltonian beschrieben wird

H = [ 0 T T U ] ,

Wo T ≪ U wird als Störung behandelt. In der Grenze von T → 0 , erhalten wir zwei Energieniveaus 0 und U bzw. Nun interessiert uns die Energiekorrektur zum Niedrigenergieniveau (das Niveau um die Energie 0 herum). Also berechnen wir zuerst den Propagator des Systems

G = 1 E − H = [ E − U E 2 − E U − T 2 T E 2 − E U − T 2 T E 2 − E U − T 2 E E 2 − E U − T 2 ] .

Den effektiven Propagator für das niederenergetische Niveau erhält man, indem man den Propagator auf den niederenergetischen Unterraum beschränkt, dh indem man die nimmt P 1 G ( E ) P 1 = G ( E ) 11 Komponente (in der ersten Zeile und ersten Spalte),

G eff ( E ) = E − U E 2 − E U − T 2 .

Nun wollen wir einen effektiven Hamiltonoperator konstruieren H eff so dass der effektive Propagator hergestellt werden kann G eff ( E ) = 1 / ( E − H eff ) . Wir finden

H eff = T 2 E − U .

Wir notieren das H eff ist auch eine Funktion von E , weil sich die Physik in Bezug auf die Energieskala ändern kann. Um die Eigenenergie zu finden, kann man die Schrödinger-Gleichung lösen H eff ( E ) | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ . Da der Unterraum nur einen einzigen Zustand enthält, ist der Eigenzustand in diesem Fall einfach in Bezug auf die Basis des Unterraums festgelegt (ändert sich aber tatsächlich implizit mit E in der ursprünglichen Basis des vollen Raums), und die Eigenenergie ist gegeben durch T 2 / ( E − U ) = E , dessen Lösung ist

E = 1 2 ( U ± U 2 + 4 T 2 ) .

Man sieht, dass der effektive Hamiltonoperator, wenn er exakt auf alle Ordnungen berechnet wird, immer noch das Spektrum des gesamten Systems enthält. Aber im Allgemeinen können wir den effektiven Hamiltonoperator nur perturbativ berechnen. In diesem Fall ist es nur sinnvoll, den effektiven Hamilton-Operator um das ungestörte Energieniveau herum auszuwerten. Also werten wir aus H eff ( E ) bei E = 0 und finden Sie das Ergebnis der Störung zweiter Ordnung H eff ( E = 0 ) = − T 2 / U . Um Korrekturen höherer Ordnung zu erhalten, koppeln wir die Energie zweiter Ordnung an den effektiven Hamilton-Operator zurück und finden das Ergebnis, das bis zur vierten Ordnung genau ist, in T / U , dh H eff ( E = − T 2 / U ) = − T 2 / U + T 4 / U 3 + Ö [ T 6 ] . Auf diese Weise können wir die Störungskorrekturen rekursiv Reihenfolge für Reihenfolge erhalten.

Gute Antwort! Nur zwei Fragen: 1) Ist das grundsätzlich klar H eff erfasst das gesamte Spektrum? Ich kann es in Ihrem Beispiel oben sehen, aber ich kann nicht sehen, ob das ein Artefakt Ihres einfachen Modells oder etwas Allgemeines ist oder nicht. 2) Wissen Sie, wie die Definition, die Sie zitieren, mit der Definition zusammenhängt? e − ich H eff T = P e − ich H T P ? Beachten Sie, dass dies H eff davon abhängen würde T , ähnlich wie die von Ihnen diskutierte Definition davon abhängt E . Zuerst dachte ich, sie könnten gleich sein (nach einer natürlichen Substitution E ↔ 1 T ) aber ich kann es nicht ganz erkennen.
@RubenVerresen 1) wenn H eff zu allen Ordnungen ausgewertet wird, dann sollte es das volle Spektrum enthalten. 2) Definiere den Propagator im Zeitbereich als G ( T ) = e − ich H T , dann ist deine Definition gerecht G eff ( T ) = P G ( T ) P , was damit zusammenhängt G eff ( ω ) = P G ( ω ) P durch Anwendung der Fourier-Transformation G ( ω ) = ich ∫ D T G ( T ) e ich ω T auf beiden Seiten (beachten Sie, dass der Projektionsoperator P ist zeitunabhängig, kann also frei in das Integral hinein- oder herausbewegt werden).
Danke schön! 2) Klingt gut! 1) Hm, aber nimm zum Beispiel den Fall H = ( A 0 0 B ) (Wo A Und B sind beliebige hermitesche Matrizen) und P ist die Projektion auf den ersten Block. Dann P 1 E − H P = ( E − A ) − 1 die eindeutig keine Informationen über enthält B . Übersehe ich etwas?
@RubenVerresen Nun, bis auf die kranke Grenze, wenn die Störung vollständig ausgeschaltet ist, dass die beiden Unterräume nicht miteinander sprechen ...
Vielen Dank für diese schöne Erklärung. Ich interessiere mich dafür, wie man den effektiven Hamilton-Operator durch die Störungsmethode zweiter Ordnung berechnet, weil ich nur den üblichen Weg kenne, um die Energiekorrektur aus der Störungstheorie zweiter Ordnung zu erhalten. In Ihrem einfachen Zwei-Niveau-System ist die Energiekorrektur die Störung zweiter Ordnung
genau gleich − T 2 U , was dasselbe zu sein scheint H e F F . Ich frage mich, dass es kein Zufall ist, sondern allgemeiner. Könnten Sie mehr über die Berechnungsdetails zum effektiven Hamilton-Operator aus der Störungstheorie zeigen?
Allgemein, wenn H = [ H A A H A B H B A H B B ] und wir möchten den effektiven Hamiltonoperator im Unterraum A kennen. G = 1 E − H = [ E − H A A − H A B − H B A E − H B B ] − 1 , der effektive Propagator im Unterraum A ist G A A = ( E − H A A − H A B ( E − H B B ) − 1 H B A ) − 1 = 1 E − H e F F . Dann wissen wir, dass der effektive Hamiltonoperator im Unterraum A ist H e F F = H A A + H A B ( E − H B B ) − 1 H B A . Wie erhält man dann die Korrektur der effektiven Hamilton-Funktion Ordnung für Ordnung?

Everett hat die kompakte Relation schön erklärt. In Bezug auf Referenzen sind https://arxiv.org/abs/1005.2495 und https://arxiv.org/abs/1105.0675 (mathematischer) nett. Außerdem wird der effektive Hamilton-Operator in 6. Ordnung in Anhang B von https://arxiv.org/abs/1704.03870 unter Verwendung der Schrieffer-Wolff-Formulierung der degenerierten Störungstheorie berechnet. (Ich bin ein Autor von diesem.)

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