Finden Sie das elektrische Feld einer gleichförmig polarisierten Kugel

Question

Finden Sie das elektrische Feld einer gleichförmig polarisierten Kugel

Nikos Ellinakis

Die Problemstellung, alle Variablen und gegebene/bekannte Daten Wir wollen das Feld einer gleichförmig polarisierten Kugel mit Radius=R berechnen
Relevante Gleichungen

v (\vec{R}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \oint_{S} \frac{σ_{B}}{R} D A^{'} + \int_{v} \frac{ρ_{B}}{R} D τ^{'}

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \oint_{S} \frac{\sigma_{b}}{r} da' + \int_{V} \frac{\rho_{b}}{r} d\tau'$

Der Lösungsversuch i) Das weiß ich $σ_{B} = P \cos θ$ $\sigma_{b} = P \cos\theta$ $ρ_{B} = 0$ $\rho_{b}=0$

Jetzt mit dem Kosinusgesetz finde ich das

\tilde{R} = \sqrt{R^{2} + R^{2} - 2 R R \cos θ}

$\tilde{r} = \sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}$ und mit sphärischen Koordinaten finde ich das

D A^{'} = R^{2} Sünde θ D θ D ϕ

$da' = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$

Hier kommt also das Problem: Wenn ich versuche, die Spannungsgleichung zu verwenden, kann ich nicht die richtige Antwort finden. Ich habe überall zu diesem Thema gesucht und kann nicht verstehen, warum das so ist

v (\vec{R}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{P \cos θ}{\sqrt{R^{2} + R^{2} - 2 R R \cos θ^{'}}} \cos θ^{'} R^{2} Sünde θ^{'} D θ^{'} D ϕ

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{P \cos\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta'}} \cos\theta' R^2 \sin\theta' d\theta' d\phi$ ist richtig und das nicht

v (\vec{R}) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{P \cos θ}{\sqrt{R^{2} + R^{2} - 2 R R \cos θ^{'}}} R^{2} Sünde θ^{'} D θ^{'} D ϕ

$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{P \cos\theta}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta'}}R^2 \sin\theta' d\theta' d\phi$ auch wo tut

\cos θ^{'}

$\cos\theta'$ kommen und warum? ii) Zweitens verstehe ich nicht, warum wir bei der Integration von 0 bis pi nicht das ganze Integral mit der Zahl 2 multiplizieren müssen. Nehmen wir es nur als Halbkugel wahr und wenn ja, warum? Vielen Dank im Voraus und bitte um Hilfe.. das verwirrt mich jetzt schon viel zu lange o_O

Chris

Das Integral in

ϕ

$\phi$ von 0 bis

2 π

$2\pi$ kümmert sich für Sie um den Faktor zwei: Stellen Sie sich vor, das Integral in

θ

$\theta$ von 0 bis

π

$\pi$ fegt einen Halbkreis aus, in dem Sie sich dann drehen

ϕ

$\phi$ eine volle Kugel zu bekommen.

Antworten (2)

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Das Integral in $\phi$ von 0 bis $2\pi$ kümmert sich für Sie um den Faktor zwei: Stellen Sie sich vor, das Integral in $\theta$ von 0 bis $\pi$ fegt einen Halbkreis aus, in dem Sie sich dann drehen $\phi$ eine volle Kugel zu bekommen.

Keanu Uchida · Answer 1

1) Vielleicht könnte dir das etwas Aufschluss geben. Dies ist von Griffiths Electrodynamics 3rd Edition. Ich bin mir nicht sicher, warum die Lösungen, die Sie gefunden haben, den cosθ′ erfordern, aber dieser enthält ihn nicht.

2) Wenn man sphärische Koordinaten verwendet und versucht, eine volle Kugel zu skizzieren, skizziert Theta einen Halbkreis (der in der xz-Ebene existiert), phi dreht und projiziert diesen Halbkreis dann um die z-Achse. θ muss dann für die gesamte Kugel von 0 bis 2π reichen, ϕ von 0 bis 2π.

Mateen Ulhaq · Answer 2

Wenn Sie versuchen, es für alle willkürlich zu finden $\vec{r} = (r, \theta)$ , erhalten Sie das folgende Integral:

v (R, θ) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} D ϕ \int_{0}^{π} D θ^{'} \frac{P \cos θ^{'}}{\sqrt{R^{2} + R^{2} - 2 R R \cos (θ^{'} - θ)}} R^{2} Sünde θ^{'}

$V(r, \theta) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta' \frac{P \cos\theta'}{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos (\theta' - \theta)}} R^2 \sin\theta'$

Es macht nicht allzu viel Spaß, dies von Hand zu berechnen, daher möchten Lehrbücher, dass Sie es beheben $\vec r$ entlang der z-Achse und eingestellt $\theta = 0$ . Das ergibt folgendes Integral:

v (z) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int_{0}^{2 π} D ϕ \int_{0}^{π} D θ^{'} \frac{P \cos θ^{'}}{\sqrt{R^{2} + z^{2} - 2 R z \cos θ^{'}}} R^{2} Sünde θ^{'}

$V(z) = \frac{1}{4 \pi\epsilon_{0}} \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{\pi} d\theta' \frac{P \cos\theta'}{\sqrt{R^2 + z^2 - 2Rz\cos \theta'}} R^2 \sin\theta'$

Das ist das gleiche wie das, was Keanu in seiner Antwort zeigt.

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Nikos Ellinakis

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Keanu Uchida

Mateen Ulhaq

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